沪科版初中数学八下教案 17.3一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式
◆教学目标：
(一)知识与技能
（1）了解掌握一元二次方程的根的判别式；
（2）不解方程能判定一元二次方程根的情况；
（3）根据一元二次方程的根的情况，探求所需的条件。
(二)过程与方法
经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
(三)情感、态度与价值观
学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力；通过观察、分析、感受数学的变化美，实现数学思想和德育思想的完美渗透。
◆教学重点：
（1）发现一元二次方程的根的判别式。
（2）用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
◆教学难点：
弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
◆教学准备:
教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
◆教学过程
（一）师生互动，情境导入
1、复习归纳：一元二次方程的根的情况；（并举例）
2、游戏导入：请学生任意列举一个一元二次方程，老师快速说出方程的根的情况；（板书课题）
（二）合作交流，探索新知
活动1、回顾思考，展开探讨
回顾：求根公式及其由来，用配方法得出求根公式的过程。（多媒体辅助教学）
观察: 对于方程 　在什么情况下可以继续？
探究：学生运用分类的数学思想展开讨论。探究发现，一元二次方程只有当时，才有实数根；而当时，方程就没有实数根。
于是得出：方程根的情况分为以下三种：
1）：当＞ 0时， ，
即：方程有两个不相等的实数根。
2）：当＝ 0时, ，即：方程有两个相等的实数根。
3）：当时，方程的右边是一个负数，而左边是一个非负数，方程不成立。即：方程没有实数根。
活动2、师生合作，归纳提升
1）通常，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示，即：△=.
2）归纳如何由△判别一元二次方程的根的情况：
一般地，一元二次方程
当△>0时，有两个不相等的实数根；
当△=0时，有两个相等的实数根；
当△<0时，没有实数根。
活动3、应用迁移，发展能力
练一练：
1、一元二次方程的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.
2、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。
（1）
（2）
（3）
归纳:不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据上述结论判别方程根的情况）。
活动4、逆向思考，拓展延伸
想一想：根据前面的结论，运用根的判别式可以不解方程就知道方程根的情况，反过来如果知道了方程根的情况，△的值会怎样呢？
学生思考、交流并回答，教师引导归纳（同时说明这三个命题也是真命题），从而得到：
一般地，一元二次方程
当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
当方程有两个相等的实数根时，△=0；
当方程没有实数根时，△<0.
　 例：当k取什么值时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根？
分析：根据题意，方程有两个不相等的实数根可知，>0，即 ＞ 0，即可得出k的取值范围。
试一试：
1. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围。
2、思考：对于方程 (a≠0)中，当a、b、c的符号满足什么条件时，不用计算△的值就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。
（三）总结教学，升华主题
今天我们学习了什么？
1）一元二次方程的根的判别式表达形式、符号、应用。
2）通过根的判别式的研究过程，深刻体会分类的思想方法和转化的思想方法。
3）明辨是非,建立一个做人的判别式,做一个对社会有益的人,积极正确的人生观、价值观的导向。
（四）课后练习，巩固提高
课本第36页习题17.3 1、必做题：第1、2、3题。
2、选做题：第4、5题
◆教学板书：
设计意图：以游戏的方式导入教学，不仅符合学生的年龄特点，同时还能激发学生的求知心理。
设计意图：培养学生小组合作、探究交流的能力。
设计意图：板书时分两步实施，运用了“推出”和“等价”符号，向学生介绍了新的知识，同时也简化了板书的内容。
设计意图：简洁而准确地概括解题的方法与步骤，既方便学生对方法的理解与记忆，同时也交给了学生巧记知识的方法。
设计意图：拓展学生视野，提高学生发散思维的能力。
设计意图：引领学生思索，引导学生树立积极正确的人生观和价值观。
一元二次方程的根的判别式
△= 例题解答
△>0 有两个不相等的实数根；
△=0 有两个相等的实数根；
△<0 没有实数根。