2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　§6　6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
课后训练巩固提升
A组
1.若=(2,2),=(-2,3)分别表示F1,F2,则|F1+F2|为(　　).
A.(0,5) B.25
C.2 D.5
2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD等于(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知点O是△ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　).
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
4.如图,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,若,则||等于(　　).
A. B.2
C.3 D.2
5.用牵绳拉船沿直线方向前进60 m,若牵绳与行进方向的夹角为30°,拉力为50 N,则该拉力对船所做的功为　　　　　J.
6.已知一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5),在这个过程中三个力的合力所做的功等于　　　　　　　　　.
7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　.
8.如图,一物体受到两个大小均为60 N的力的作用,两力的夹角为60°,且有一力方向水平,求合力的大小及方向.
9.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且分别靠近点A、点B,且AE,CD交于点P.求证:BP⊥DC.
B组
1.已知点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　　).
A.(-2,4) B.(-30,25)
C.(10,-5) D.(5,-10)
2.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC=(　　).
A.30° B.45°
C.60° D.90°
3.在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且,则等于(　　).
A. B.
C. D.
4.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过 h船的实际航程为(　　).
A.2 km B.6 km
C.2 km D.8 km
5.在△ABC中,AB=5,AC=10,=25,点P是△ABC内(包括边界)的一个动点,且(λ∈R),则||的最小值是(　　).
A. B.
C.3 D.
6.一条河的两岸平行,河的宽度为560 m,一艘船从一岸出发到河对岸,已知船的静水速度|v1|=6 km/h,水流速度|v2|=2 km/h,则行驶航程最短时,所用时间是　　　　　min.(精确到1 min)
7.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从点A出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短 为什么
8.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
答案：
A组
1.D　因为F1+F2=(0,5),所以|F1+F2|==5.
2.A　建立平面直角坐标系,如图所示.
设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),
则=(1,t),=(-1,t).
由AC⊥BC知=-1+t2=0,解得t=1,故AD=1.
3.D　∵,∴()·=0,∴=0,∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高的交点.
4.B　如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),E(2,0).
设AD=m,则D(0,m),C(4,m).
∵,
∴=0,而=(2,-m),=(4,m),∴8-m2=0,即m2=8,
∴||==2.
5.1 500　所做的功W=60×50×cos 30°=1 500(J).
6.-40　∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),
∴合力F=F1+F2+F3=(8,-8).
又=(0-1,5-1)=(-1,4),
∴F·=8×(-1)+(-8)×4=-40,即三个力的合力做的功等于-40.
7.30　=(3,6)=.
因为=(4,-2)·(3,6)=0,
所以四边形ABCD为矩形,
所以||==2,
||==3,
所以S=||||=2×3=30.
8.解 设向量分别表示两力,以为邻边作平行四边形OACB,即为合力.
由已知可得△OAC为等腰三角形,且∠COA=30°.
过点A作AD⊥OC于点D,则在Rt△OAD中,||=||cos 30°=60×=30.
故||=2||=60,即合力的大小为60 N,方向与水平方向成30°角.
9.证明 设=λ,并设△ABC的边长为a,则有=λ=λ()+(2λ+1)-λ.∵,
∴(2λ+1)-λ=k,λ∈R,
于是有解得λ=.∴,
∴,
从而=()·()=a2-a2-a2cos 60°=0,
∴,∴BP⊥DC.
B组
1.C　点P的位移为5v=(20,-15).
∵点P的起始位置为(-10,10),∴5秒后点P的位置为(10,-5).
2.C　因为,所以O也是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.
3.D　如图,由得点D在与AB边平行的中位线上,故.
4.B　设船的速度为a,水的速度为b,则船的实际航行速度为a+b,于是有(a+b)2=a2+2a·b+b2=16+2×4×2×+4=12,|a+b|=2,船的实际航程为2=6(km).
5.C　依题意,=5×10cos∠CAB=25 cos∠CAB= ∠CAB=.
由余弦定理得BC=5,故△ABC为直角三角形.
设AD=AB,过点D作DP'∥AC,
交BC于点P',过P'作EP'∥AB,交AC于点E.
由于(λ∈R),根据向量加法运算的平行四边形法则可知,点P位于线段DP'上,由图可知||最短时为||,故最小值为3.
6.6　因为行程最短,所以船应该朝上游的方向行驶,所以船的速度为=4(km/h),
所以所用时间是×60≈6(min).
7.解 (1)船垂直到达对岸,即v=v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos θ+|v2|2=0.所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t,则t=.故当θ=90°时,船的航行时间最短,而当船垂直到达对岸,所需时间并不是最短.
8.证明 如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).
设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).
又因为=(-1,2),,所以=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=,所以=().所以=().
又因为=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=.
又因为∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
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