2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　习题课——向量的数量积运算（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
习题课——向量的数量积运算
课后训练巩固提升
1.在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,BC的中点,则=(　　).
A.8 B.10
C.12 D.14
2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,a⊥(a+b),则向量a在b方向上的投影数量为(　　).
A.-1 B.-2
C.2 D.1
3.在直角梯形ABCD中,AB=8,CD=4,AB∥CD,AB⊥AD,E是BC的中点,则·()=(　　).
A.32 B.48
C.80 D.64
4.(多选题)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是(　　).
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.|a|的最小值为2
C.与b垂直的单位向量为
D.若|a|=2|b|,则k=2或-2
5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则a·c=(　　).
A.0 B.-2a2
C.2a2 D.-a2
6.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(　　).
A.-1 B.1
C.+1 D.
7.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m=　　　　　.
8.已知两个单位向量a,b满足|a-b|=1,当|a-λb|取最小值时,λ=　　　　　.
9.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若=1,则λ的值为　　　　　.
10.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,点E为AB的中点,点D,F在边BC,AC上,且=6=3,EF交AD于点P.
(1)若∠BAC=,求所成角的余弦值;
(2)求的值.
答案：
1.B　根据题意,得=()·()==0+2×1×cos 0+2×4×cos 0+0=10.故选B.
2.A　因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=4+2×4×cos=4+8cos=0,
所以cos=-,所以=.所以向量a在b方向上的投影数量为|a|cos=2×=-1.
3.C　∵·()=,由数量积的几何意义可得的值为||与方向上的投影数量的乘积,又方向上的投影数量为AB=4,
∴=32,同理=8×6=48,
∴·()=32+48=80.故选C.
4.AB　对于A,因为向量a=(k,2),b=(1,-1),所以当k<-2时,a·b=k-2<0且-k-2≠0,即a与b的夹角为钝角,因此A正确;
对于B,因为|a|=≥2,所以|a|的最小值为2,因此B正确;
对于C,设与b垂直的单位向量为m=(x,y)且|m|=1,所以x-y=0且=1,解得
因此与m垂直的单位向量为()或(-,-),所以C不正确;
对于D,因为|a|=2|b|,所以=2,解得k=2或k=-2,所以D不正确.故选AB.
5.A　由非零向量a,b,c满足a+b+c=0,可得c=-(a+b),所以a·c=a·[-(a+b)]=-a2-a·b=-a2-|a|·|b|cos.
因为a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,所以a·c=-a2-|a|·|b|cos=-|a|2-2|a|2×=0.
6.A　∵a·b=0,且|a|=|b|=|c|=1,
∴|a+b|=,又(a+b)·c=|a+b||c|cos<(a+b),c>=cos<(a+b),c>,
∴|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=3-2(a+b)·c=3-2cos<(a+b),c>,
∴当cos<(a+b),c>=1时,|a+b-c=3-2=(-1)2,∴|a+b-c|的最小值为-1.
7.7　利用平面向量的加法公式可得a+b=(-1+m,3),由平面向量垂直的充要条件可得(a+b)·a=(-1+m,3)·(-1,2)=-(-1+m)+6=0,解方程可得m=7.
8.　∵两个单位向量a,b满足|a-b|=1,
∴1+1-2cos=1,∴=.
∴两个单位向量a,b夹角为.
∴|a-λb|=,∴当|a-λb|取最小值时,λ=.
9.2　如图,由题意可得=||·||cos 120°=2×2×(-)=-2.在菱形ABCD中,易知,所以=()·()=-2(1+)=1,解得λ=2.
10.解 (1)以AC所在直线为x轴,过B且垂直于AC的直线为y轴建立平面直角坐标系如图,则A(-2,0),F(-1,0),E(-1,),D(),
∴=(),=(0,-),
∴cos<>==-.
(2)∵A,P,D三点共线,
∴可设=λ,同理,可设=t+(1-t),
由平面向量基本定理可得解得
∴.
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