2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章　习题课——向量的线性运算（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师版高中数学必修第二册
习题课——向量的线性运算
课后训练巩固提升
1.设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么(　　).
A.同向,且||>||
B.同向,且||<||
C.反向,且||>||
D.
2.(多选题)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么(　　).
A.=(λ-1,1-μ)
B.若,则λ=2,μ=
C.若A是BD中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
3.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且+2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　).
A.3 B.4
C.5 D.6
4.(多选题)如图,已知P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点,如果=a,=b,以下向量表示正确的是(　　).
A.=-a-b B.=-a+b
C.=-a+b D.=a-b
5.设M是△ABC所在平面上的一点,且=0,D是AC的中点,则的值为(　　).
A. B.
C.1 D.2
6.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c与向量ka+b共线,则实数k=　　　　　.
7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　.
8.如图,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D,若=m+n,则m+n的取值范围是　　　　　　　.
9.如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.
(1)设=λ,将用λ,表示;
(2)设=x=y,证明:是定值.
答案：
1.A　=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,
又=-8a-2b,∴.
∵>0,∴同向,且||=|,
∴||>||.
2.AC　A选项,=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A选项正确.
B选项,若,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,B选项错误.
C选项,若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ) λ=μ=-1,所以=(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确.
D选项,由于B,C,D三点共线,所以=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ) λ=-1或μ=1,所以D选项错误.
3.B　∵D为AB的中点,
∴).
又+2=0,
∴=-,∴O为CD的中点,∵D为AB的中点,∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,则=4.
4.BC　由已知可得=b-a,故D错误;
因为P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA的四等分点,
由=-a-(b-a)=-a-b,故A错误;
=-=-b+(b-a)=-a+b,故B正确;
=-a+b,故C正确.
5.A　∵D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,∴四边形MAEC为平行四边形,
∴).∵=0,
∴=-)=-3,
∴,故选A.
6.-1　ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1),
因为向量c与向量ka+b共线,所以2(k-2)-3(3k+1)=0,解得k=-1.
7.　因为)=-,
所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.
8.(-1,0)　由题意得,=k(k<0),又|k|=<1,∴-1∵B,A,D三点共线,∴=λ+(1-λ),
∴m+n=kλ+k(1-λ),∴m=kλ,n=k(1-λ),∴m+n=k,从而m+n∈(-1,0).
9.(1)解 +λ+λ()=(1-λ)+λ.
(2)证明 由(1)得=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy;①
∵G是△OAB的重心,∴)=.②
而不共线,
∴由①②,得解得
∴=3(定值).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)