2025北师版高中数学必修第二册练习题--第2章测评（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa+b与a垂直,则λ的值是(　　).
A.-1 B.1
C.-2 D.2
2.若|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角是(　　).
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则的值为(　　).
A. B.
C. D.
4.在△ABC中,若,则△ABC是(　　).
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投影数量为(　　).
A. B.
C.- D.-
6.将村庄甲、乙、丙看成三点A,B,C,正好构成△ABC,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos C=.若,且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9,则甲、乙之间的距离为(　　).
A.4 B.5
C.6 D.7
7.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　).
A.4 B.-4
C. D.-
8.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是(　　).
A. km B. km
C. km D. km
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知向量a=(1,2),b=(2,-4),且a与b的夹角为α,则(　　).
A.a-b=(1,-2) B.|b|=2|a|
C.a∥b D.cos α=-
10.下列对三角形解的个数的判断中正确的是(　　).
A.a=30,b=25,A=150°,有一解
B.a=7,b=14,A=30°,有两解
C.a=6,b=9,A=45°,有两解
D.a=,b=,A=60°,无解
11.锐角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则(　　).
A.B=45° B.B=135°
C.AC=1 D.AC=
12.我国传统的一种手工折纸风车(如图①)是从正方形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图②,则(　　).
①
②
A.
B.=0
C.
D.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　　.
14.已知△ABC的面积S=,A=,则=　　　　　.
15.已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为　　　　　,|2a-b|=　　　　　.
16.设a,b,c都是单位向量,且a与b的夹角为,则(c-a)·(c-b)的最小值为　　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,∠AOB=,动点A1,A2与B1,B2分别在射线OA,OB上,且线段A1A2的长为1,线段B1B2的长为2,点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点.
(1)用向量表示向量;
(2)求向量的模.
18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.
19.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=2,C=60°.
(1)求的值;
(2)若a+b=ab,求S△ABC.
20.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
21.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)n mile的两个观测点,现位于点A北偏东45°,点B北偏西60°的点D处有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60°且与点B相距20 n mile的点C处的救援船立即前往营救,其航行速度为30 n mile/h,该救援船到达点D最少需要多长时间
22.(12分)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|ka+b|=|a-kb|(k>0,k∈R).
(1)求a·b关于k的解析式f(k);
(2)若a∥b,求实数k的值;
(3)求向量a与b夹角的最大值.
答案：
1.A　由题意可知(λa+b)·a=λa2+b·a=0.
∵|a|=,a·b=1×4+(-3)×(-2)=10,
∴10λ+10=0,λ=-1.
2.B　因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即|a|2-a·b=0,所以a·b=|a|2=2,所以cos=,即a与b的夹角是.
3.D　由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,即72=52+AC2-10AC·cos 120°,解得AC=3或AC=-8(舍去).由正弦定理得.
4.C　由已知,得·()-·()=0,∴=0,
∴·(-)=0,即-=0,,
∴BC⊥AC,∴△ABC为直角三角形.故选C.
5.A　由条件知=(2,1),=(5,5),=10+5=15.
所以||==5,则方向上的投影数量为||cos<>=,
故选A.
6.C　因为,所以abcos C=,所以ab=20.
又因为a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcos C=36,所以c=6,故选C.
7.B　由n⊥(tm+n)可得n·(tm+n)=0,则tm·n+n2=0,
所以t=-=-=-=-3×=-3×=-4.故选B.
8.B　如图,由题意知AM=8×=2,BN=12×=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3×=13,所以MN= km.
9.BD　a-b=(1-2,2+4)=(-1,6),A不正确;|a|=,|b|==2=2|a|,B正确;由a=(1,2),b=(2,-4),可得,C不正确;由向量的夹角公式,可得cos α==-,所以D正确.
10.AD　在A中,由正弦定理得sin B=,又0在B中,由正弦定理得sin B==1,又0在C中,由正弦定理得sin B=>1,无解,C错误;
在D中,由正弦定理得sin B=>1,无解,D正确.故选AD.
11.AC　∵锐角三角形ABC的面积是,
∴S△ABC=AB·BC·sin B=×1××sin B=,∴sin B=.
∵B为锐角,∴B=45°,故A选项正确,B选项错误;
在△ABC中,运用余弦定理,可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=1+2-2×1×=1,
∴AC=1,故C选项正确,D选项错误.
12.BCD　,则不平行,A错.设AC∩BD=O,=()()==-||·||+||·||=0,B对.,C对.)==0,∴,D对,故选BCD.
13.-6　∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,
∴-2m-4×3=0,∴m=-6.
14.2　S△ABC=·AB·AC·sin A,即·AB·AC·,解得AB·AC=4,
于是=||·||·cos A=4×=2.
15.　2　由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,则cos =,因为∈[0,π],所以=,即a与b的夹角为,又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=2.
16.-　(c-a)·(c-b)=c2-c·b-a·c+a·b=|c|2-c·(a+b)+|a|·|b|·cos -c·(a+b),要使(c-a)·(c-b)最小,则只需c与a+b同向共线即可.∵a与b都是单位向量,且a与b的夹角为,
∴|a+b|=1,故最小值为-.
17.解 (1),①
,②
①+②得=2,
所以).
(2)∵||2=+2)=×(1+2×1×2×cos +4)=,∴||=.
18.解 (1)因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=,即|a|2-|b|2=,
所以|b|2=|a|2-=1-,故|b|=.
(2)因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-,所以cos θ=,又θ∈[0,π],故θ=.
19.解 (1)由正弦定理可得,
所以a=sin A,b=sin B,所以.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
又a+b=ab,所以(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4或ab=-1(舍去),
所以S△ABC=absin C=×4×.
20.解 (1)由题意可知S△ABC=acsin B=,
故acsin B=2.①
在△ABD中,有,由∠ADC=,得∠ADB=,所以,故csin B=.②
将②式代入①式,得a=4.在△ADB中,由余弦定理得AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos,
即c2=12+22-2×1×2×=7,所以c=.
在△ABD中,cos B=>0,故B∈,则sin B=,tan B=.
(2)过点A作AH⊥BC交BC于点H(图略).
在△ABC,△ABD中,由余弦定理得cos B=,所以a2=2(b2+c2)-4.
将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2.
S△ABC=BC·AH=×2AH=,则AH=1.
又因为AD=1,所以点H与点D重合,即AD为边BC的中垂线,所以b=c==2.
21.解 连接DC.
由题意知AB=5(3+) n mile,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
则∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,
由正弦定理得,所以DB==10(n mile).
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+30°=60°,BC=20 n mile,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20=900,得CD=30 n mile,
则需要的最短时间t==1(h).
所以该救援船到达点D最少需要1 h.
22.解 (1)由已知|ka+b|=|a-kb|,有|ka+b|2=(|a-kb|)2,k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.又因为|a|=|b|=1,得8ka·b=2k2+2,
所以a·b=,
即f(k)=(k>0).
(2)因为a∥b,k>0,
所以a·b=>0,则a与b同向.
因为|a|=|b|=1,
所以a·b=1,
即=1,整理得k2-4k+1=0,
解得k=2±,所以当k=2±时,a∥b.
(3)设a,b的夹角为θ,则cos θ==a·b=.
当,即k=1时,cos θ取最小值,此时θ最大,θ=.
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