2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§1　同角三角函数的基本关系（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
课后训练巩固提升
1.下列四个命题不可能成立的是(　　).
A.sin α=-,且cos α=
B.sin α=0,且cos α=-1
C.tan α=1,且cos α=-1
D.tan α=(α的终边在第二象限)
2.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于(　　).
A. B.
C. D.
3.已知α是第三象限角,且sin α=-,则3cos α+4tan α=(　　).
A.- B.
C.- D.
4.化简的值为(　　).
A.1 B.-1
C.2 D.-2
5.若α∈[0,2π),且=sin α-cos α,则α的取值范围是(　　).
A.[0,] B.[,π]
C.[π,] D.[,2π)
6.若tan θ=2,则cos2θ-sin2θ=(　　).
A.- B.
C.- D.
7.已知α∈,且sin αcos α=-,则sin α+cos α的值是(　　).
A. B.-
C.± D.±
8.已知sin α=,tan α=-,则cos α等于　　　　　.
9.已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<,则tan α=　　　　　,cos α+sin α=　　　　　.
10.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦,则实数m的值为　　　　　.
11.已知cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　　.
12.已知sin α-cos α=,则tan α的值为　　　　　.
13.化简.
14.已知=k(0<α<).试用k表示sin α-cos α的值.
15.已知sin θ=asin φ,tan θ=btan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ=.
答案：
1.C　由基本关系式可逐个判断A,B,D都有可能成立.
2.B　(1+sin α)(1-sin α)=1-sin2α=cos2α=.
3.A　因为α是第三象限角,且sin α=-,
所以cos α=-=-=-,
所以tan α=,
所以3cos α+4tan α=-2=-.
4.B　原式===-1.
5.B　由题意,得=|sin α|+|cos α|=sin α-cos α,所以sin α≥0,cos α≤0.
又α∈[0,2π),所以α∈.
6.C　由已知得解得cos2θ=,
所以cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-cos2θ)=2cos2θ-1=2×-1=-.
7.B　因为α∈,所以sin α>0,cos α<0,且|sin α|<|cos α|,从而sin α+cos α<0.
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+2×,从而sin α+cos α=-.
8.-　由tan α=,可知cos α==-.
9.1　-　∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2.
又3π<α<,∴tan α>0,∴k=2.
经验证,k=2符合题意.
则tan α+=k=2,得tan α=1,
则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.
10.　由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.
不妨设A为直角三角形的一个锐角,sin A=x1,cos A=x2,则x1+x2=(m+1),x1·x2=m,
即sin A+cos A=(m+1),sin Acos A=m,
所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.
当m=-时,sin Acos A=-<0,不合题意,舍去,故m=.
11.2　由得(sin α+2)2=0,∴sin α=-,cos α=-,∴tan α=2.
12.3或　∵sin α-cos α=,
∴(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=,
于是,即,
∴tan α=或tan α=3.
13.解 原式==-2tan2α.
14.解 =2sin αcos α=k,
当0<α<时,sin α所以sin α-cos α=-=-=-.
当≤α<时,sin α≥cos α,此时sin α-cos α≥0,
所以sin α-cos α=.
15.证明 由题意知a=,b=,则.
整理,得=|cos θ|.
因为θ为锐角,所以cos θ=.故原等式成立.
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