2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§2　2.1　两角和与差的余弦公式及其应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师版高中数学必修第二册
§2　两角和与差的三角函数公式
2.1　两角和与差的余弦公式及其应用
课后训练巩固提升
A组
1.若sin α=,α∈,则cos(α-)等于(　　).
A.- B.
C.- D.
2.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是(　　).
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是(　　).
A. B.
C. D.
4.如图,在平面直角坐标系中,锐角α,β的终边分别与单位圆交于A,B两点,如果点A的纵坐标为,点B的横坐标为,则cos(α-β)=(　　).
A. B.-
C. D.-
5.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β的值为(　　).
A.0 B.
C. D.
6.若cos(α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　).
A. B.
C. D.
7.已知tan α=2,tan β=3,则的值为　　　　　.
8.若sin=-,sin,其中<α<<β<,则α+β的值为　　　　　.
9.设cos=-,sin,其中α∈,β∈,求cos .
B组
1.等于(　　).
A.- B.
C.- D.
2.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos的值为(　　).
A. B.-
C. D.-
3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若1-cos C=2cos Acos B,则△ABC一定为(　　).
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
4.已知α∈,β∈,若sin(α-)=-,cos=-,则cos(α-β)=　　　　　.
5.已知sin,则cos α+sin α=　　　　　.
6.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的大小.
7.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值;
(2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求cos φ的值.
答案：
A组
1.C　由sin α=,α∈,得cos α=.
又cos=-cos=-coscos α-sin αsin=-(cos α+sin α)=-=-.
2.B　因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
3.D　∵coscos-sinsin=0,
∴cos=0,即cos x=0.
∵x∈[0,π],∴x=.
4.C　易知sin α=,cos β=,∵α,β均为锐角,
∴cos α=,sin β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.
5.A　∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,
∴2cos αcos β=0.于是cos αcos β=0.
6.C　∵0<α<β<,∴-<α-β<0,0<2α<π.
由cos(α-β)=,得sin(α-β)=-.
由cos 2α=,得sin 2α=.
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)==-.
又∵α+β∈(0,π),∴α+β=.
7.-=-.
8.　∵<α<,∴--α<0,
∴cos.
∵<β<,∴+β<,
∴cos=-.
∴cos(α+β)=cos[]=cos(+β)cos+sinsin=-.又<α+β<π,∴α+β=.
9.解 因为α∈,β∈,
所以α--β∈.
因为cos=-,sin,
所以sin,
cos.
所以cos =cos=coscos+sinsin=-.
B组
1.B　.
2.C　∵0<α<,-<β<0,
∴<α+.
又∵cos,cos,
∴sin,sin,
∴cos=cos=coscos+sinsin()=.
故选C.
3.B　在△ABC中,∵C=π-(A+B),∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B.
又1-cos C=2cos Acos B,
∴cos Acos B+sin Asin B=1,即cos(A-B)=1.
又04.-　∵α∈,β∈,
∴-<α-<-,--β<-.
又sin=-,cos=-<0,
∴cos,
sin=-=-,
∴cos(α-β)=cos[]=cos(α-)cos(-β)-sin(α-)sin(-β)==-.
5.　sin=cos=cos(-α)=coscos α+sinsin α=cos α+sin α=(cos α+sin α)=,∴cos α+sin α=.
6.解 由α-β∈,且cos(α-β)=-,
得sin(α-β)=.
由α+β∈,且cos(α+β)=,
得sin(α+β)=-,
∴cos 2β=cos [(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)·cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)==-1.
又∵α-β∈,α+β∈,
∴2β∈,∴2β=π,于是β=.
7.解 (1)因为a⊥b,所以a·b=sin θ-2cos θ=0,
即sin θ=2cos θ.
又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,
即cos2θ=,所以sin2θ=.
又θ∈,所以sin θ=,cos θ=.
(2)因为5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ)=cos φ+2sin φ=3cos φ,
所以cos φ=sin φ,
所以cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=.
因为0<φ<,所以cos φ=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)