2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§2　2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用
课后训练巩固提升
1.化简sin 200°cos 140°-cos 160°sin 40°的结果为(　　).
A. B.sin 20°
C.cos 20° D.
2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin Bcos C,则△ABC是(　　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知α,β均为锐角,sin α=,tan(β-α)=,则tan β=(　　).
A. B.
C.3 D.
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C=a+c,则B=(　　).
A. B.
C. D.
5.已知θ是第四象限角,且sin,则tan=(　　).
A. B.-
C.- D.
6.已知cos=sin,则tan α=　　　　　.
7.已知coscos β=,cos αsin β=cos,则sin(α+β)=　　　　　.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求tan(α+2β)的值.
9.在△ABC中,三个内角分别为A,B,C.已知sin=2cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若B∈,且cos(A-B)=,求sin B的值.
答案：
1.A　由cos 160°=cos(360°-160°)=cos 200°,sin 40°=sin(180°-40°)=sin 140°,
可知sin 200°cos 140°-cos 160°sin 40°=sin 200°cos 140°-cos 200°sin 140°
=sin(200°-140°)=sin 60°=.
2.D　因为sin(B+C)=2sin Bcos C,所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,即sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以sin(B-C)=0,所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
3.A　因为sin α=,α为锐角,
所以cos α=.
所以tan α=,所以tan β=tan[(β-α)+α]=.
4.C　由正弦定理,得sin Bcos C=sin A+sin C.
∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),
∴sin Bcos C=sin(B+C)+sin C=sin B·cos C+cos Bsin C+sin C,
即cos Bsin C+sin C=0.
又C∈(0,π),∴sin C≠0,∴cos B=-.
又B∈(0,π),∴B=.
5.B　(方法一)∵sin(sin θ+cos θ)=,
∴sin θ+cos θ=,①
∴2sin θcos θ=-.
∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
∴sin θ-cos θ=-=-,②
由①②得sin θ=-,cos θ=,∴tan θ=-,
∴tan=-.
(方法二)∵,
∴sin=cos,
又2kπ-<θ<2kπ(k∈Z),
∴2kπ-<θ+<2kπ+(k∈Z),
∴cos,∴sin,
∴tan,
∴tan=-tan=-.
6.1　cos=cos αcos-sin αsincos α-sin α,
sin=sin αcos-cos α·sinsin α-cos α,
所以sin α=cos α,故tan α=1.
7.　∵coscos β=sin αcos β=,cos αsin β=cos=cos,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
8.解 (1)由题意可得cos α=,cos β=.
因为α,β都为锐角,所以sin α=,sin β=,
从而tan α=7,tan β=,
所以tan(α+β)==-3.
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.
9.解 (1)由sin=2cos A,得sin A+cos A=2cos A,即sin A=cos A.
因为A∈(0,π),且cos A≠0,所以tan A=,所以A=.
(2)因为B∈,cos(A-B)=,
所以A-B=-B∈.于是sin(A-B)=,
故sin B=sin [A-(A-B)]=sin Acos(A-B)-cos Asin(A-B)=.
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