2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§2　2.3　三角函数的叠加及其应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师版高中数学必修第二册
2.3　三角函数的叠加及其应用
课后训练巩固提升
1.化简cos x-sin x的结果是(　　).
A.2cos B.2sin
C.2sin D.2cos
2.已知sin α+cos α=,则sinα+的值为(　　).
A.- B.
C.- D.
3.(多选题)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则(　　).
A.f(x)为偶函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)的图象关于点对称
4.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若=-1,则sin等于(　　).
A. B.
C. D.
5.化简:sincos=　　　　　　　　　　.
6.函数f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)0≤φ≤的图象关于直线x=对称,则sin φ=　　　　　.
7.设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　　.
8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,则当x∈[0,]时函数f(x)的一个零点是　　　　　.
9.某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,如图所示.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20 m,AD=10 m,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域.
(2)当θ取何值时,污水净化效果最好 并求出此时管道的长度L.
答案：
1.D　原式=2=2(cos x·cos-sin xsin)=2cos.
2.C　∵sin α+cos α=sin,
∴sin=sin(π+α+)=-sin(α+)=-.
3.AD　因为f(x)=sin(2x+)=cos 2x,所以f(x)为偶函数,故A正确.
当x∈时,2x∈(0,π),
所以f(x)在区间上单调递减,故B错误.
f(x)的最大值为,故C错误.
当x=时,f=0,
所以f(x)的图象关于点对称,故D正确.
4.B　=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),
则=cos α(cos α-3)+sin α(sin α-3)=1-3(cos α+sin α)=1-3
=1-3=1-3sin=-1,∴sin.
5.sinsincos(-x)=×2[sin(-x)·+cos]=[sin(-x)cos+cossin]=sinsin(-x).
6.　∵f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)=sin(2x+φ-θ)(sin θ=,cos θ=),且f(x)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ-θ=+kπ,k∈Z,则φ=kπ+θ(k∈Z),∴sin φ=sin(kπ+θ)(k∈Z).
当k为偶数时,sin φ=sin θ=;当k为奇数时,sin φ=-sin θ=-.
又∵0≤φ≤,∴0≤sin φ≤1.故sin φ=.
7.　sin x+cos x=2=2sin=a,在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2sin,x∈[0,2π]与y=a的图象(图略),可知当a=时,直线y=a与函数y=2sin,x∈[0,2π]的图象恰有三个交点,即方程sin x+cos x=a在x∈[0,2π]上恰有三个解.
令sin,得x+=2kπ+(k∈Z)或x+=2kπ+(k∈Z),即x=2kπ(k∈Z)或x=2kπ+(k∈Z),∴0,,2π为符合条件的三个解,
故x1+x2+x3=.
8.　∵f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,
且f(x)的最小正周期为π,得ω=2,
∴f(x)=2sin.
由f(x)=0,即2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,∴x=-,k∈Z.
∵x∈,∴x=.
∴当x∈时函数f(x)的一个零点是.
9.解 (1)由题意可得EH=,FH=,且θ为锐角,故EF=.
∵BE=10tan θ≤10,AF=≤10,
∴≤tan θ≤.∴θ∈.
∴L=,θ∈,
即L=10×,θ∈.
(2)设sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=.
∵θ∈,
∴t=sin θ+cos θ=sin.
∴L=.
∵L=在区间上单调递减,
∴当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)m.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)