2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§2　2.4　积化和差与和差化积公式（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
2.4　积化和差与和差化积公式
课后训练巩固提升
1.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是(　　).
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
2.sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　).
A.- B.-
C. D.
3.已知sin(α+β)sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β等于(　　).
A.-m B.m
C.-4m D.4m
4.在△ABC中,若B=30°,则cos Asin C的取值范围是(　　).
A.[-1,1] B.[-]
C.[-] D.[-]
5.函数y=coscos的最大值是　　　　　.
6.=　　　　　.
7.已知函数f(x)=cos x·cos.
(1)求f的值;
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合.
8.已知向量a=(sin B,1-cos B)与向量b=(2,0)的夹角为,其中A,B,C是△ABC的内角.
(1)求B的大小;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
答案：
1.B　∵sin Asin B=cos2,∴[cos(A-B)-cos(A+B)]=(cos C+cos 0)=(1+cos C).
又A+B=π-C,∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,
即cos(A-B)+cos C=1+cos C,
∴cos(A-B)=1.
又-π故△ABC为等腰三角形.
2.D　由已知得2sincos(2sin·sin),
∵0<<π,-,
∴sin>0.∴tan .
∴.∴α-β=.
3.B　cos2α-cos2β=(cos 2α+cos 0)-(cos 2β+cos 0)=(1+cos 2α)-(1+cos 2β)
==-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.
4.C　cos Asin C=[sin(A+C)-sin(A-C)]=[sin(180°-B)-sin(A-C)]=sin(A-C).
∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cos Asin C∈.
5.　y=coscos{cos[(+2x)+]+cos[(+2x)-]}
=cos 4x-,
∴函数y的最大值为.
6.　原式==tan 30°=.
7.解 f(x)=cos x·cos[cos(2x-)+cos]=cos.
(1)fcos=-=-.
(2)∵f(x)<,即cos,
∴cos<0,
于是2kπ+<2x-<2kπ+,k∈Z,
解得kπ+故使f(x)<成立的x的取值集合为(k∈Z).
8.解 (1)由题意,得|a|=,|b|=2,a·b=2sin B.
由夹角公式,得cos,
整理得1-cos B-2sin2B=0,
即2cos2B-cos B-1=0.
解得cos B=1(舍去)或cos B=-.
又∵0(2)∵A+B+C=π,∴A+C=.
∴-∴sin A+sin C=2sincos=2sincos=cos.∴sin A+sin C的取值范围是.
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