2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　§3　二倍角的三角函数公式（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
§3　二倍角的三角函数公式
课后训练巩固提升
A组
1.下列各式与tan α相等的是(　　).
A. B.
C. D.
2.的值是(　　).
A. B.-
C. D.-
3.若cos 2θ=-,则=(　　).
A.- B.
C.- D.
4.若f(sin θ)=3-cos 2θ,则f(cos θ)等于(　　).
A.3+cos 2θ B.3-cos 2θ
C.3-sin θ D.3+cos θ
5.若,则tan 2α=(　　).
A.- B.
C.- D.
6.(多选题)已知f(x)=(1+cos 2x)·sin2x,则下列结论正确的是(　　).
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)为偶函数
C.f(x)的最大值为
D.f(x)的最小值为-
7.设5π<θ<6π,cos,则sin=　　　　.
8.已知tan α=-,则=　　　　　.
9.已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-(ω>0)的最小正周期为π.若f(x)>,则x的取值集合为　　　　　　　　　.
10.求证:=tan .
11.已知cos x=,且x∈,求cos(2x+)+sin2x的值.
B组
1.已知α∈,cos α=,则tan =(　　).
A.3 B.-3
C. D.-
2.若tan θ=-2,则=(　　).
A.- B.-
C. D.
3.已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的正弦值是(　　).
A. B.
C.- D.-
4.若=-,则cos α+sin α的值为(　　).
A.- B.-
C. D.
5.已知tan 2θ=,θ∈,则的值为(　　).
A. B.
C. D.
6.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有(　　).
A.cC.a7.化简:tan 70°cos 10°(tan 20°-1)=　　　　　.
8.已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈,则α=　　　　　.
9.已知sin α+cos α=,且α∈(0,π).
(1)求tan 2α的值;
(2)求2sin2-sin.
10.已知函数f(x)=2cos2x+2sin x·cos x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程;
(2)若函数g(x)=f的图象经过点,θ∈(-),求sin θ的值.
答案：
A组
1.D　由tan α=±,或tan α=可知,D项正确.
2.A　原式=.
3.A　cos 2θ==-.
4.A　f(sin θ)=3-cos 2θ=3-(1-2sin2θ)=2+2sin2θ,令t=sin θ∈[-1,1],则f(t)=2+2t2,
所以f(cos θ)=2+2cos2θ=3+cos 2θ.
5.B　因为,
所以,解得tan α=-3,
所以tan 2α=.
6.ABC　∵f(x)=(1+cos 2x)(1-cos 2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos 4x),
∴f(x)的定义域为R,f(-x)=[1-cos 4(-x)]=(1-cos 4x)=f(x),故f(x)为偶函数,f(x)的最小正周期T=,f(x)的最大值为×2=,最小值为0.
故选ABC.
7.-　∵,∴sin <0.
∴sin =-=-=-.
8.-=tan α-=-.
9.　f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-cos 2ωx+sin 2ωx=sin,
因为函数f(x)的最小正周期为π,
所以有=π,得ω=1,故f(x)=sin.
因为f(x)>,即sin,由正弦函数的性质得,+2kπ<2x++2kπ,k∈Z.
解得-+kπ故x的取值集合为{x+kπ10.证明 =tan .
故原等式成立.
11.解 ∵cos x=,x∈,
∴sin x=-=-,
∴sin 2x=2sin xcos x=-,
∴cos+sin2x=(cos 2xcos -sin 2xsin )+sin 2x
=.
B组
1.D　因为α∈,且cos α=,所以,tan =-=-=-.
2.C　=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=.故选C.
3.A　设底角为θ,则θ∈,顶角为π-2θ.
∵sin θ=,∴cos θ=,
∴sin(π-2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ=2×.
4.C　因为=-(sin α+cos α)=-,所以cos α+sin α=.
5.A　因为tan 2θ=,θ∈,则,解得tan θ=或tan θ=-3(舍去),
于是sin θ=,cos θ=.
故.
6.C　a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b=2sin 13°cos 13°=sin 26°,c=sin 25°,
∵y=sin x在区间[0°,90°]上单调递增,∴a7.-1　原式=·cos 10°·(-1)=·cos 10°··cos 10°·=-=-1.
8.　由sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,
得sin22α+sin 2αcos α-2cos2α=0,
即(2sin αcos α)2+2sin αcos2α-2cos2α=0,
∴2cos2α(2sin2α+sin α-1)=0,
∴2cos2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.
∵α∈,∴cos2α≠0,sin α+1≠0,
∴2sin α-1=0,∴sin α=,∴α=.
9.解 (1)由sin α+cos α=,得sin αcos α=-.
又因为α∈(0,π),所以α∈,
所以sin α-cos α=,
于是sin α=,cos α=-,
所以tan α=-,故tan 2α=.
(2)2sin2-sin=1-cos(α+)-sin=1-cos α+sin α-sin α-cos α=1-cos α=.
10.解 (1)f(x)=cos 2x+sin 2x=2sin,所以最小正周期T==π,
令2x+=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z),所以其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)g(x)=2sin[2(x+)+]=2sin(x+),
又θ∈,所以θ+.又g(θ)=2sin,所以sin>0,
所以θ+,故θ∈(-),即sin θ∈(-),
因为sin θcos+cos θsin,即cos θ-sin θ=,且cos2θ+sin2θ=1,
所以100sin2θ+80sin θ+39=0,解得sin θ=,
又,- (-),所以sin θ=.
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