2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章　习题课——同角三角函数的基本关系的应用（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
习题课——同角三角函数的基本关系的应用
课后训练巩固提升
A组
1.若=-5,则tan α的值为(　　).
A.-2 B.2
C. D.-
2.化简的结果是(　　).
A.sin 40°+cos 40°
B.sin 40°-cos 40°
C.cos 40°-sin 40°
D.-cos 40°-sin 40°
3.cos2x等于(　　).
A.tan x B.sin x
C.cos x D.
4.如果tan θ=2,那么sin2θ+sin θcos θ+cos2θ的值是(　　).
A. B.
C. D.
5.如图,A,B是单位圆O上的点,且点B在第二象限,C是单位圆与x轴非负半轴的交点,点A的坐标为(),∠AOB=90°,则tan∠COB=(　　).
A. B.-
C. D.-
6.化简:sin4α+cos4α+2sin2α·cos2α-1=　　　　　.
7.若<α<2π,求证:=-.
8.已知,求下列各式的值.
(1);
(2)1-4sin θcos θ+2cos2θ.
B组
1.已知在△ABC中,sin A=,则A=(　　).
A. B.
C. D.
2.当α≠(k∈Z)时,·(sin α+tan α)的值(　　).
A.恒为正 B.恒为负
C.恒非负 D.可正可负
3.已知,则等于(　　).
A. B.-
C.2 D.-2
4.△ABC为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则的值为(　　).
A.1 B.-1
C.3 D.-3
5.已知tan α=cos α,则cos2α+cos4α=　　　　　,=　　　　　.
6.已知A为锐角,且lg(1+cos A)=m,lg =n,则lg sin A的值为　　　　　.
7.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.
(1)求sin3θ+cos3θ的值;
(2)求tan θ+的值.
8.已知tan α=,tan β=,xy≠0,α,β≠,k∈Z,求证:.
9.求证:.
答案：
A组
1.D　=-5,解得tan α=-.
2.C　=
=|sin 40°-cos 40°|,
因为sin 40°cos 45°=,
所以sin 40°所以=cos 40°-sin 40°.
3.D　原式=·cos2x=·cos2x=·cos2x=.
4.B　sin2θ+sin θcos θ+cos2θ=1+sin θcos θ=1+=1+=1+.
5.B　因为cos∠COB=cos(∠COA+90°)=-sin∠COA=-,点B在第二象限,
所以sin∠COB=,
所以tan∠COB==-.
6.0　sin4α+cos4α+2sin2α·cos2α-1=(sin2α+cos2α)2-1=12-1=0.
7.证明 ∵<α<2π,∴sin α<0.
左边=++
=-=-=右边.
∴原等式成立.
8.解 ∵,
∴,解得tan θ=2.
(1)原式==1.
(2)原式=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ==-.
B组
1.C　由题意知cos A>0,即A为锐角.
将sin A=两边平方得2sin2A=3cos A,
∴2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).∴A=.
2.A　(sin α+tan α)=sin αcos α+cos α·+sin α·+1=sin α+cos α+1+sin αcos α=(1+sin α)(1+cos α).
因为α≠,k∈Z,所以1+sin α>0,1+cos α>0,
所以原式恒为正.
3.B　因为,所以=-.
4.B　由△ABC为锐角三角形,可知A+B>,即A>-B.又A,B∈,所以sin A>cos B,所以sin A-cos B>0,同理cos A-sin C<0,所以θ为第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以=-1+1-1=-1,故选B.
5.1　1　因为tan α=cos α,所以=cos α,即sin α=cos2α,所以sin2α=cos4α,
所以cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1,
=1.
6.　由lg(1+cos A)=m,得1+cos A=10m.
由lg =n,得1-cos A=10-n.
故(1+cos A)(1-cos A)=10m-n,
即1-cos2A=10m-n,所以sin2A=10m-n,
又A为锐角,所以sin A>0,
则sin A=1,于是lg sin A=.
7.解 依题意,知Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,得a≤0或a≥4,且
由①2-②×2,得a2-2a-1=0,
∴a=1-或a=1+(舍).
∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan θ+=--1.
8.证明 由tan α=及tan α=,得,整理得sin αcos β+cos αsin β=.
又tan β=,同理得sin αcos β+cos αsin β=.所以,即.
9.证法一 右边=
=
=
=
==左边,
所以原等式成立.
证法二 左边=
=
=,
右边=,
所以原等式成立.
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