2025北师版高中数学必修第二册练习题--第4章测评（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=(　　).
A. B.
C.- D.-
2.若cos,则cos(-2α)=(　　).
A. B.-
C. D.-
3.定义运算=ad-bc.若cos α=,0<β<α<,则β=(　　).
A. B.-
C. D.
4.=(　　).
A. B.
C. D.1
5.已知=tan β,且β-α=,则m等于(　　).
A.1 B.-1
C. D.-
6.若cos α=-,α是第三象限角,则等于(　　).
A.- B.
C.2 D.-2
7.已知450°<α<540°,则的值是(　　).
A.-sin B.cos
C.sin D.-cos
8.已知向量a=,b=(cos,-sin),且x∈[0,].若|a+b|=2a·b,则sin 2x+tan x等于(　　).
A.-1 B.0
C.2 D.-2
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知tan θ=2,则下列结论正确的是(　　).
A.tan(π-θ)=-2
B.tan(π+θ)=-2
C.=-
D.sin 2θ=
10.下列化简结果正确的是(　　).
A.cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos 15°-sin 15°=
D.
11.已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x-,则下列说法正确的是(　　).
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在区间[]上单调递减
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
12.在平面直角坐标系中,对任意角α,设α的终边上异于原点的任意一点P(x,y),它与原点的距离是r.我们规定:比值分别叫作角α的正割、余割、余切,分别记作sec α,csc α,cot α,把y=sec x,y=csc x,y=cot x分别叫作正割函数、余割函数、余切函数,则下列叙述正确的是(　　).
A.cos α+sec α≥2
B.y=sec x的定义域为
C.cot 2α=
D.(sec α+cos α)2+(csc α+sin α)2≥9
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.已知cos+sin α=,则sinα+的值是　　　　　.
14.已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,则sin(α+β)的值为　　　　　.
15.如图,点B在以PA为直径的圆周上,点C在线段AB上,已知PA=5,PB=3,PC=,设∠APB=α,∠APC=β,α,β均为锐角,则角β的值为　　　　　.
16.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tan α的最大值是　　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,求tan 及β的值.
18.(12分)设方程12x2-πx-12π=0的两根分别为α,β,求cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β的值.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
20.(12分)已知向量a=(sin θ,2),b=(cos θ,1),且a,b共线,其中θ∈.
(1)求tan的值;
(2)若5cos(θ+φ)=-sin φ,0<φ<,求φ的值.
21.(12分)已知函数f(x)=cos xcos(x-).
(1)求函数f(x)的递增区间;
(2)若x∈[-,0]时,f(x)≤m恒成立,求m的取值范围.
22.(12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的递增区间.
答案：
1.A　由三角函数定义,得sin α=cos 47°,cos α=sin 47°,
则sin(α-13°)=sin αcos 13°-cos αsin 13°=cos 47°·cos 13°-sin 47°sin 13°=cos(47°+13°)=cos 60°=.
2.D　∵cos,∴sin=sin=cos(α+)=,
∴cos(-2α)=1-2sin2=1-2×=-.
3.A　依题设得=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.
∵0<β<α<,∴0<α-β<,则cos(α-β)=.
又cos α=,∴sin α=,
∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,∴β=.
4.A　=.
5.A　由于=tan β=tan,因此m=1.
6.A　∵α是第三象限角,cos α=-,
∴sin α=-.
∴=
=-.
7.A　因为450°<α<540°,
所以225°<<270°.
所以cos α<0,sin<0.
所以原式===-sin.
8.B　|a+b|
=
=
==2|cos x|.
因为x∈,所以cos x>0,于是|a+b|=2cos x.
又a·b=cos cos -sin sin =cos()=cos 2x,由|a+b|=2a·b,得2cos x=2cos 2x,于是有cos 2x-cos x=0,即2cos2x-cos x-1=0,解得cos x=1或cos x=-(舍去).
当cos x=1时,sin x=0,tan x=0,
所以sin 2x+tan x=2sin xcos x+tan x=0,故选B.
9.ACD　对于A,tan(π-θ)=-tan θ=-2,故A正确.
对于B,tan(π+θ)=tan θ=2,故B错误.
对于C,=-,故C正确.
对于D,sin 2θ=2sin θcos θ=,故D正确.
10.ACD　对于A,cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=sin(52°-22°)=sin 30°=,故A正确.
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=cos 15°sin 15°sin 30°=sin 30°sin 30°=,故B不正确.
对于C,cos 15°-sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=,故C正确.
对于D,=tan(24°+36°)=tan 60°=,故D正确.故选ACD.
11.ABC　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),f(x)的最小正周期为=π,故A正确.
因为≤x≤,所以≤2x+≤π,f(x)在区间[]上单调递减,故B正确.f=2sin 0=0,所以f(x)的图象关于点(-,0)对称,故C正确.f=2sin≠2,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故D错误.
12.CD　∵cos α+sec α=cos α+,∴当cos α<0时,cos α+sec α<0,故A错误;
y=sec x=,故其定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z},故B错误;
cot 2α=,故C正确;
(sec α+cos α)2+(csc α+sin α)2=(+cos α)2+(+sin α)2
=+2+cos2α++sin2α+2=5+=5+,
∵cos α≠0,sin α≠0,∴sin22α∈(0,1],
∴5+∈[9,+∞),故D正确.
13.-　∵cos+sin α=cos αcos+sin αsin+sin α=cos α+sin α,
∴cos α+sin α=,∴cos α+sin α=,即sin.
∴sin=sin[π+]=-sin(α+)=-.
14.　由13sin α+5cos β=9,得169sin2α+25cos2β+130sin αcos β=81,①
由13cos α+5sin β=15,得169cos2α+25sin2β+130cos αsin β=225,②
①+②得169+25+130(sin αcos β+cos αsin β)=306,整理得sin αcos β+cos αsin β=,于是有sin(α+β)=.
15.　因为点B在以PA为直径的圆周上,所以∠ABP=,所以cos α=,sin α=,tan α=.
因为cos∠CPB=cos(α-β)=,所以sin(α-β)=,则tan(α-β)=,于是tan β=tan[α-(α-β)]==1.
又β∈,所以β=.
16.　由cos(α+β)=得sin α=sin βcos(α+β),则sin α=sin βcos αcos β-sin2βsin α,即sin α(1+sin2β)=sin βcos αcos β,于是有,
即tan α=.
因为β为锐角,所以tan β>0,
所以tan α=(当且仅当2tan β=,即tan β=时取等号),即tan α的最大值为.
17.解 ∵α∈,cos α=,∴sin α=.
∴tan .
又α+β∈,cos(α+β)=-,
∴sin(α+β)=,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
又α∈,α+β∈,
∴-<-α<0,则0<β<π,∴β=.
18.解 由题意知α+β=,
故cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=cos(α+β)-sin(α+β)=2sin[-(α+β)] =2sin =2sin=2(sin cos -cos sin )=2×.
19.解 (1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,
∴m·n=·(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.
又x∈,∴x-.
∴x-=0,得x=.∴tan x=tan =1.
(2)由(1)和已知得cos==sin,
又x-,∴x-,得x=.
20.解 (1)∵a∥b,∴sin θ-2cos θ=0,即tan θ=2.
∴tan=-3.
(2)由(1)知tan θ=2,又θ∈,
∴sin θ=,cos θ=,
∴5cos(θ+φ)=5(cos θcos φ-sin θsin φ)=-sin φ,
即cos φ-2sin φ=-sin φ,
∴cos φ=sin φ,则tan φ=1.又0<φ<,∴φ=.
21.解 (1)f(x)=cos xcos=cos x(cos xcos+sin xsin)=cos x
sin xcos x+cos2x=sin 2x+
sin 2x+cos 2x+sin.
(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)当x∈时,2x+,
因此当2x+,即x=0时,
f(x)取最大值.
因为当x∈时,f(x)≤m恒成立,所以m的取值范围是.
22.解 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
因为y=f(x)的图象过点,
所以
即解得
(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin=1,所以2φ++2kπ,k∈Z,于是可得φ=+kπ,k∈Z.
因为0<φ<π,所以φ=,
因此g(x)=2sin=2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的递增区间为,k∈Z.
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