2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章　§1　1.1　复数的概念（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第五章　复数
§1　复数的概念及其几何意义
1.1　复数的概念
课后训练巩固提升
1.(多选题)下列结论正确的是(　　).
A.实数集与复数集的交集是实数集
B.任何两个复数都不能比较大小
C.任何复数的平方均非负
D.虚数集与实数集的并集为复数集
2.若(7-3x)+3yi=2y+2(x+2)i(x,y∈R),则x,y的值分别为(　　).
A.1,2 B.2,1
C.-1,2 D.-2,1
3.已知复数z=i2+i,则z的虚部为(　　).
A.- B.
C.-i D.i
4.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=(　　).
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
5.若-3+ai=b-2i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则=(　　).
A.- B.
C. D.-
6.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为(　　).
A.[-7,] B.[,7]
C.[-1,1] D.[-,7]
7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为　　　　　.
8.若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数(其中i是虚数单位),且θ∈[0,2π),则θ=　　　　　.
9.复数z=cos+isin,且θ∈[-],若z是实数,则θ的值为　　　　;若z为纯虚数,则θ的值为　　　　.
10.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(m∈R).
(1)若复数z是实数,求实数m的值;
(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;
(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值.
11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
12.已知复数z1=-a2+2a+ai,z2=2xy+(x-y)i,其中a,x,y∈R,且z1=z2,求3x+y的取值范围.
答案：
1.AD　实数集是复数集的子集,所以A正确;任何两个复数都不能比较大小,不正确,当两个复数是实数时,可以比较大小,所以B不正确;任何复数的平方均非负,反例i2=-1,所以C不正确;虚数集与实数集的并集为复数集,所以D正确.
2.A　(7-3x)+3yi=2y+2(x+2)i 解得即x,y的值分别为1,2.
3.B　∵z=i2+i=-i,∴z的虚部为.
4.B　由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,
即n2+mn+2+(2n+2)i=0.
所以解得所以z=3-i.
5.B　因为-3+ai=b-2i,所以a=-2,b=-3,得.
6.D　由z1=z2得
消去m整理,得λ=4sin2θ-3sin θ=4(sin θ-)2-.由于-1≤sin θ≤1,故-≤λ≤7.故选D.
7.1或-3　由题意,可知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3.
8.　因为sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数,
所以解得
又θ∈[0,2π),所以θ=.
9.±　0　若z为实数,则sin=cos θ=0,
又∵θ∈,∴θ=±.
若z为纯虚数,则有
得θ=0.
10.解 (1)因为复数z是实数,所以m2-2m-15=0,解得m=5或m=-3,故实数m的值为5或-3.
(2)因为复数z是虚数,所以m2-2m-15≠0时,解得m≠5且m≠-3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.
(3)因为复数z是纯虚数,所以解得m=-2.
11.解 由定义运算=ad-bc得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以有解得
12.解 由z1=z2,得消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
(方法一)令t=3x+y,则y=-3x+t.
分析知圆心(1,-1)到直线3x+y-t=0的距离d=,解得2-2≤t≤2+2,
即3x+y的取值范围是[2-2,2+2].
(方法二)令(α∈R),
所以3x+y=sin α+3cos α+2=2sin(α+φ)+2(其中tan φ=3),
于是3x+y的取值范围是[2-2,2+2].
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