2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章　§1　1.2　复数的几何意义（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
1.2　复数的几何意义
课后训练巩固提升
1.与x轴同方向的单位向量e1和与y轴同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是(　　).
A.e1对应实数1,e2对应虚数i
B.e1对应虚数i,e2对应虚数i
C.e1对应实数1,e2对应虚数-i
D.e1对应实数1或-1,e2对应虚数i或-i
2.当A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多选题)在复平面内,复数z对应的点为(1,1),则(　　).
A.z=1+i B.=-1+i
C.|z|= D.||=
4.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量的模||等于(　　).
A. B.2
C.4 D.
5.复数z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模为(　　).
A.2cos B.-2cos
C.2sin D.-2sin
6.已知复数z在复平面内对应的点在第二象限,它的模是3,实部是-,则z为(　　).
A.-+2i B.--2i
C.+2i D.-2i
7.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2=(　　).
A.4+5i B.5+4i
C.3+4i D.5+4i或i
8.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹为(　　).
A.一个圆 B.线段
C.两点 D.两个圆
9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　.
10.复数z=1+cos α-isin α(π<α<2π)的模的取值范围为　　　　　.
11.已知i为虚数单位,复数z1=1+i,在复平面中将z1绕着原点逆时针旋转165°得到z2,则z2=　　　　　.
12.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　　.
13.在复平面内,模为4,且其共轭复数对应的点位于第二象限的复数为　　　　　.(写出一个即可)
14.已知复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i.
(1)若复数z是实数,求实数m的值.
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.
15.在复平面内画出复数z1=i,z2=-1,z3=i对应的向量,并求出各复数的模,同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.
16.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z.
(1)求复数z;
(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.
答案：
1.A　e1=(1,0),e2=(0,1).
2.D　∵0,m-1<0,
∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
3.ACD　因为在复平面内,复数z对应的点是(1,1),
所以z=1+i,所以=1-i,|z|=,||=.
4.D　由于四边形OABC是平行四边形,故,因此||=||=|3-2i|=.故选D.
5.B　|z|==2.
∵π<α<2π,∴<π,cos<0,于是|z|=-2cos.
6.A　设z=x+yi(x,y∈R),则x=-,
由|z|=3,得(-)2+y2=9,即y2=4,得y=±2.
∵复数z对应的点在第二象限,∴y=2.∴z=-+2i.
7.D　设z2=x+yi(x,y∈R),
由题意得,
解得
8.A　∵|z|2-2|z|-3=0,
∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆.
9.5　由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知,得a=5.
10.(0,2)　|z|=,∵π<α<2π,∴-1∴0<2+2cos α<4.∴|z|∈(0,2).
11.-i　z1=1+i在复平面内对应的点为A(1,),所以|OA|==2,且OA与x轴正方向的夹角为60°,将其逆时针旋转165°后落在第三象限,且与x轴负半轴的夹角为60°+165°-180°=45°,所以对应的点为(-,-),所以z2=-i.
12.12　由条件知
解得m=3,∴z=12i,∴|z|=12.
13.-1-i(答案不唯一)　设复数为a+bi(a,b∈R),满足题意的复数的模为=4,a<0,b<0,故复数可以为-1-i等.
14.解 (1)若复数z是实数,则有m2-m-6=0,解得m=3或m=-2.
又当m=-2时,m2+2m-14<0,舍去,所以m=3.
(2)因为复数z在复平面内所对的点位于第二象限,所以00,
解得-515.解 |z1|==1,
|z2|=|-1|=1,|z3|==1,
根据复数与复平面内的点一一对应,可知点Z1,Z2,Z3的坐标分别为,(-1,0),,则向量如图所示.
由图可知,在复平面xOy内,点Z1,Z3关于实轴对称,且Z1,Z2,Z3三点在以原点为圆心,1为半径的圆上.
16.解 (1)因为点A,B对应的复数分别是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),
所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ),
所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,所以sin θ=±.
又因为θ∈(0,π),所以sin θ=,
所以θ=.
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