2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章　§2　2.1　复数的加法与减法（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师版高中数学必修第二册
§2　复数的四则运算
2.1　复数的加法与减法
课后训练巩固提升
1.若z-3+5i=8-2i,则z等于(　　).
A.8-7i B.5-3i
C.11-7i D.8+7i
2.若复数z满足z+(1+i)=2i,则|z|=(　　).
A. B.2
C. D.10
3.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量表示正确的是(　　).
4.已知复数z=i(b∈R)的实部为-1,i为虚数单位,则复数-b在复平面内对应的点位于(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　).
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.复数z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为(　　).
A.5 B.
C.6 D.
7.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=　　　　　.
8.在复平面内,复数z1,z2,z的对应点分别为Z1,Z2,Z,已知,z1=1+ai,z2=b-2i,z=3+4i(a,b∈R),则a+b=　　　　　.
9.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β为实数,且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为　　　　　.
10.已知z1=1+i,z2=cos θ+(sin θ-1)i,且z1+z2>0,则θ=　　　　　.
11.已知x,y∈R,且z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是　　　　　.
12.已知f(z+i)=3z-2i(z∈C),则f(i)=　　　　　.
13.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
14.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.
15.在平行四边形ABCD中,已知对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求平行四边形ABCD的面积.
答案：
1.C　z=8-2i-(-3+5i)=11-7i.
2.A　由z+(1+i)=2i,得z=2i-(1+i)=-1+i,则|z|=,故选A.
3.A　由题图知,z=-2+i,所以z+1=-2+i+1=-1+i,易知选A.
4.C　复数z=i(b∈R)的实部为-1,则=-1,即b=6.所以z=-1+5i,所以=-1-5i.复数-b=-1-5i-6=-7-5i,其在复平面内对应的点的坐标为(-7,-5),该点位于第三象限.
5.B　根据复数加(减)法的几何意义,知以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形AOB为直角三角形.
6.D　|z1-z2|=|(cos θ-sin θ)+2i|=.
7.　因为z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,
所以z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,所以z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.
8.8　由条件知z=z1+z2,所以(1+ai)+(b-2i)=3+4i,即(1+b)+(a-2)i=3+4i,
由复数相等的条件知,1+b=3且a-2=4,解得a=6,b=2,a+b=8.
9.　因为z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,
所以z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β)=i,
所以
①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.
10.2kπ,k∈Z　∵z1+z2=1+cos θ+isin θ>0,
∴∴θ=2kπ,k∈Z.
11.1　因为z1-z2=y+xi-yi+x=(y+x)+(x-y)i=2,所以故xy=1.
12.-2i　(方法一)∵f(z+i)=3z-2i=3z+3i-5i=3(z+i)-5i,则f(x)=3x-5i,∴f(i)=3i-5i=-2i.
(方法二)令z=0可得f(i)=-2i.
13.解 z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以
解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
14.解 设z=x+yi,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由图可得|z-2-2i|的最小值为圆心(-2,2)与定点(2,2)的距离减去半径长,即-1=3.
15.解 (1)因为,
所以.故对应的复数为z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)因为,
所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,
=(-1,2),=(4,3),
所以cos∠DAB=.
因此sin∠DAB=.
于是平行四边形ABCD的面积
S=||||sin∠DAB=×5×=11.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)