2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章　§2　2.2　复数的乘法与除法--2.3　复数乘法几何意义初探（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
2.2　复数的乘法与除法
*2.3　复数乘法几何意义初探
课后训练巩固提升
A组
1.若a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a=(　　).
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.=(　　).
A.1-i B.-1+i
C.i D.-i
3.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则z·-z-1=(　　).
A.-2i B.-i
C.i D.2i
4.(多选题)已知i是虚数单位,z=,则下列说法正确的是(　　).
A.复数z在复平面内对应的点位于第二象限
B.|z|=
C.复数z的共轭复数是=i+1
D.复数z的虚部是i
5.(多选题)已知实数a满足=2-i(i为虚数单位),设复数z=(a+1)+(a-1)i,则下列结论正确的是(　　).
A.z为纯虚数 B.z2为虚数
C.z+=0 D.z·=4
6.已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　　.
7.已知i为虚数单位,复数z满足z(2-i)=i2 021,则复数z的虚部为　　　　　.
8.复数的模为,则实数a的值是　　　　　.
9.在复数范围内,方程3x2+2x+1=0的根为　　　　　.
10.已知复数z的共轭复数是,且z-=-4i,z·=13,试求.
11.已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.
(1)求z·;
(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
B组
1.(多选题)若复数z满足z+|z|=8+4i(i为虚数单位),则下列结论正确的是(　　).
A.z=-3+4i
B.|z|=5
C.z的共轭复数=3+4i
D.z是方程x2-6x+25=0的一个根
2.设复数z的共轭复数为,z=1+i,z1=z·,则等于(　　).
A.+i B.-i
C. D.
3.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　).
A.2 B.4
C.4 D.16
4.若=x+yi(a,x,y∈R),且xy>1,则实数a的取值范围是(　　).
A.(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
5.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),下列结论正确的是　　　　　.(填序号)
①|z-|=2y;
②z2=x2+y2;
③|z-|≥2x;
④|z|≤|x|+|y|.
6.设x,y为实数,且,则x+y=　　　　　.
7.已知复数z=+1+i,i为虚数单位.
(1)求|z|和;
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
8.已知复数z1=1+ai,z2=2a-3i(a∈R).
(1)若z1·z2是纯虚数,求a的值;
(2)若复数在复平面内对应的点在直线y=5x上,求a的值.
答案：
A组
1.C　由(a+i)(1-ai)=2,可得a+i-a2i+a=2,即2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C.
2.A　=1-i,故选A.
3.B　∵z=1+i,∴z·=|z|2=2,
∴z·-z-1=2-(1+i)-1=-i.
4.AB　因为z==-1+i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,1),在第二象限,故A正确.|z|=|-1+i|=,故B正确.
复数z的共轭复数为=-1-i,故C错误.
复数z的虚部为1,故D错误.故选AB.
5.ACD　由3-ai=(2-i)(1+i)=3+i,得a=-1,所以z=-2i为纯虚数,z2=-4为实数.因为=2i,所以z+=0,z·=4.故选ACD.
6.4+i　=4+i.
7.　由z(2-i)=i2 021=i505×4+1=i,可得z==-i,所以复数z的虚部为.
8.±,解得a=±.
9.　因为Δ=22-4×3×1=-8<0,
所以方程的根为x=.
10.解 设z=x+yi(x,y∈R),
则由条件可得即
解得
因此z=3-2i或z=-3-2i.
于是当z=3-2i时,i;
当z=-3-2i时,i.
11.解 (1)因为z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,
所以z·=|z|2=20.
(2)w=z+ai=-2+(4+a)i,其对应向量的模为.
又复数z所对应向量的模为=2,由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,得20+8a+a2≤20,解得-8≤a≤0,
所以实数a的取值范围是{a|-8≤a≤0}.
B组
1.BD　设z=a+bi(a,b∈R),则z+|z|=a++bi=8+4i,
可得解得所以z=3+4i,故A错误;
|z|==5,故B正确;
=3-4i,故C错误;
由x2-6x+25=0,解得x=3+4i或x=3-4i,故D正确.
2.C　由题意得=1-i,∴z1=z·=|z|2=2.
∴.
3.C　由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
4.B　因为=x+yi(a,x,y∈R),所以2+ai=x-y+(x+y)i,所以解得
因为xy>1,所以>1,解得a<-2或a>2,
故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
5.④　对于①,=x-yi(x,y∈R),
|z-|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,
故不正确;
对于②,z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,故不正确;
对于③,|z-|=|2y|≥2x不一定成立,故不正确;
对于④,|z|=≤|x|+|y|一定成立,故正确.
6.4　因为i,
i,i,
又,
所以所以所以x+y=4.
7.解 (1)∵复数z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,∴|z|==2+i.
(2)∵复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,∴(2-i)2+m(2-i)+n=0,
∴4-4i+i2+2m-mi+n=0,
∴(3+2m+n)-(m+4)i=0,
∴解得
8.解 (1)因为z1·z2=(1+ai)(2a-3i)=5a+(2a2-3)i,
要使z1·z2是纯虚数,需满足所以a=0.
(2)因为=-i,
所以复数在复平面内对应的点为(-,-).
因为复数对应的点在直线y=5x上,
所以-=5·,整理得2a2-5a+3=0,
解得a=1或a=.
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