2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章　§3　复数的三角表示（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
*§3　复数的三角表示
课后训练巩固提升
A组
1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是(　　).
A.cos 195°+isin 195°
B.sin 75°+icos 75°
C.cos 15°+isin 15°
D.cos 75°+isin 75°
2.复数sin 50°-isin 140°的辐角的主值是(　　).
A.150° B.40°
C.-40° D.320°
3.若复数z=(a+i)2的辐角是,则实数a的值是(　　).
A.1 B.-1
C.- D.-
4.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为(　　).
A.
B.
C.2kπ+(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
5.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是(　　).
A.[cos+isin]
B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]
C.[cos+isin]
D.[cos+isin]
6.已知z=cos +isin,则arg z2=　　　　　.
7.把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是　　　　　.
8.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是　　　　　.
9.已知z1=,z2=6(cos +isin ),计算z1z2,并说明其几何意义.
B组
1.设π<θ<,则复数的辐角的主值为(　　).
A.2π-3θ B.3θ-2π
C.3θ D.3θ-π
2.复数z=tan θ+i的三角形式是(　　).
A.(sin θ+icos θ)
B.(cos θ+isin θ)
C.-[cos(-θ)+isin(-θ)]
D.-[cos(+θ)+isin(+θ)]
3.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,则z的三角形式为　　　　　　.
4.将复数1+i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0<θ<2π)所得的向量对应的复数为-2,则θ=　　　　　.
5.设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为i,求tan(α+β)的值.
6.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2∈(0,π),求z2的代数形式.
答案：
A组
1.D　z=sin 15°+icos 15°=cos 75°+isin 75°,故选D.
2.D　sin 50°-isin 140°=cos(270°+50°)+isin(180°+140°)=cos 320°+isin 320°.
3.B　∵z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,
∴∴a=-1,故选B.
4.D　因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ,所以cos θ=sin θ,即tan θ=1,所以θ=+kπ(k∈Z).
5.A　因为1+i=,
cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ),
所以(1+i)(cos θ-isin θ)=[cos+isin]
=.
6.　因为arg z=,所以arg z2=2arg z=2×.
7.1-i　(1+i)
=
=[cos()+isin()]
=[cos(-)+isin]
=1-i.
8.　由题知,z1=2,z2=2(cos +isin ),所以的辐角的主值为.
9.解 z1z2=×6×[cos+isin()]=3=3i.
首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应的向量.
B组
1.B　=cos 3θ+isin 3θ.
因为π<θ<,所以3π<3θ<,所以π<3θ-2π<,因而所求辐角的主值为3θ-2π.故选B.
2.C　z=tan θ+i=+i=(sin θ+icos θ),
∵<θ<π,∴<0,∴z=-(-sin θ-icos θ)=-[cos(-θ)+isin(-θ)].
3.z=2　由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i.
因为arg z∈,所以z=-1-i应舍去,
所以z=-1+i=2.
4.　由题意知,(1+i)(cos θ+isin θ)=-2,
即2(cos θ+isin θ)=2[cos(+θ)+isin]=-2,
所以cos=-1,sin=0,
又0<θ<2π,所以+θ<,
则+θ=π,于是θ=.
5.解 由题意可设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β.
因为△AOB的重心G对应的复数为i,
所以i,即z1+z2=1+i,
于是有
所以tan ,故tan(α+β)=.
6.解 因为z1=2,设z2=2(cos α+isin α),α∈(0,π),
所以z1=8[cos+isin].
由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),所以α=kπ+(k∈Z).
又α∈(0,π),所以α=,所以z2=2=-1+i.
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