2025北师版高中数学必修第二册练习题--第5章测评（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.=(　　).
A.2 B.2
C. D.1
2.已知i为虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则ab=(　　).
A.1 B.
C. D.2
3.已知z=,则z-=(　　).
A.-i B.i
C.0 D.1
4.复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中,A,B,C所对应的复数分别为2+3i,3+2i,-2-3i,则点D对应的复数是(　　).
A.-2+3i B.-3-2i
C.2-3i D.3-2i
5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(　　).
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
6.若a,b∈R,则复数(a2-6a+10)+(-b2+4b-5)i在复平面内对应的点在(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2,那么实数a的取值范围是(　　).
A.(-2,2) B.(-2,2)
C.(-1,1) D.(-)
8.欧拉公式:eix=cos x+isin x(i为虚数单位),由瑞士数学家欧拉发明,它建立了三角函数与指数函数的关系,根据欧拉公式,()2=(　　).
A.1 B.-1
C.i D.-i
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知复数z的共轭复数为,若iz=1+i,则(　　).
A.z的实部是1 B.z的虚部是-i
C.=1+i D.|z|=2
10.复数z=x+yi,x,y∈R,xy≠0,则下列结论正确的是(　　).
A.z+∈R B.z-∈R
C.z∈R D.∈R
11.已知复数z=cos θ+isin θ(其中i为虚数单位),下列说法正确的是(　　).
A.z·=1
B.z+为实数
C.若θ=,则复数z在复平面上对应的点落在第一象限
D.若θ∈(0,π),复数z是纯虚数,则θ=
12.已知z1,z2是复数,则下列说法正确的是(　　).
A.若>0,则>-
B.若>-,则>0
C.若=0,则z1=z2=0
D.若<0,则z1,z2至少有一个是虚数
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　　.
14.已知a为正实数,i为虚数单位,=2,则a=　　　　　.
15.若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(3-i)=z2(1+3i),|z1|=,则z1=　　　　　　　　　.
16.若复数z满足|z-i|≤(i为虚数单位),则z在复平面内所对应的图形的面积为　　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知z1=1-2i,z2=1+i,z3=-1+3i,求arg z1+arg z2+arg z3的值.
18.(12分)已知关于x,y的方程组有实数解,求实数a,b的值.
19.(12分)实数k为何值时,复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i是
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4)0
20.(12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
21.(12分)已知复数z1=i,z2=i,z3=2-i,z4=-在复平面上对应的点分别是A,B,C,D.
(1)求证:A,B,C,D四点共圆;
(2)已知=2,求点P对应的复数.
22.(12分)设O为坐标原点,已知向量分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,a∈R.若+z2可以与任意实数比较大小,求的值.
答案：
1.C　∵=1-i,
∴=|1-i|=.故选C.
2.C　因为i为虚数单位,=a+bi(a,b∈R),所以=a+bi,
根据复数相等得到所以ab=.
故选C.
3.A　∵z==-i,
∴i.∴z-=-i-i=-i.故选A.
4.B　设D(x,y),由平行四边形对角线互相平分得解得
∴D(-3,-2),∴点D对应的复数为-3-2i.
5.B　要使复数不是纯虚数,则有a2-a-2≠0,
解得a≠-1且a≠2.
6.D　复数对应点的坐标为(a2-6a+10,-b2+4b-5),
又∵a2-6a+10=(a-3)2+1>0,
-b2+4b-5=-(b-2)2-1<0.
∴复数对应的点在第四象限.故选D.
7.D　因为|z-2|=|3+ai-2|=|1+ai|=<2,所以a2+1<4,所以a2<3,即-8.B　由eix=cos x+isin x,得=(cos +isin )2=i2=-1,故选B.
9.AC　因为iz=1+i,所以z==1-i,
所以=1+i,|z|=,z的实部为1,虚部为-1.故选AC.
10.AC　因为z=x+yi(x,y∈R,xy≠0),所以=x-yi.
因为z+=2x,x∈R,x≠0,所以z+∈R,故A正确.因为z-=2yi,y∈R,y≠0,所以z- R,故B不正确.因为z=x2+y2,x,y∈R,xy≠0,所以z∈R,故C正确.因为i,x,y∈R,xy≠0,所以 R,故D不正确.故选AC.
11.ABD　对于A,z·=(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)=cos2θ-(isin θ)2=cos2θ+sin2θ=1,故A正确.
对于B,因为z+=cos θ+isin θ+=cos θ+isin θ+=cos θ+isin θ+cos θ-isin θ=2cos θ,所以z+为实数,故B正确.
对于C,因为θ=为第二象限角,所以cos<0,sin>0,所以z=cos+isin在复平面对应的点落在第二象限,故C错误.
对于D,复数z是纯虚数,则又因为θ∈(0,π),所以θ=,故D正确.
12.BD　若=i,=1-i,显然满足>0,但是不满足>-,故A不正确.当>-成立时,显然有∈R,-∈R,故B正确.当z1=1,z2=i时,显然满足=0,但是z1=z2=0不成立,故C不正确.当<0成立时,假设z1,z2都不是虚数,则它们是实数,显然<0不成立,假设不成立,则z1,z2至少有一个是虚数,故D正确.故选BD.
13.3　∵|a+bi|=,
∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.
14.=1-ai,
则=|1-ai|==2,所以a2=3.
又a为正实数,所以a=.
15.1-i或-1+i　设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=-a+bi,∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|=,
∴解得∴z1=1-i或z1=-1+i.
16.2π　设z=x+yi(x,y∈R),则由|z-i|≤可得,即x2+(y-1)2≤2,它表示以点(0,1)为圆心,为半径的圆及其内部,所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
17.解 ∵z1·z2·z3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=(3-i)(-1+3i)=10i,
∴arg z1+arg z2+arg z3=+2kπ,k∈Z.
∵arg z1∈,arg z2∈,arg z3∈,∴arg z1+arg z2+arg z3∈,
∴arg z1+arg z2+arg z3=.
18.解 由①得解得
将x,y代入②得(5+4a)-(6+b)i=9-8i,
所以解得
19.解 (1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,z是实数.
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1时,z是虚数.
(3)当即k=4时,z是纯虚数.
(4)当即k=-1时,z=0.
20.解 (1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,所以b2-(6+i)b+9+ai=0,
即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故解得a=b=3.
(2)设z=x+yi(x,y∈R),由|-3-3i|=2|z|,
得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|,
即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),
即(x+1)2+(y-1)2=8.
所以复数z对应的点Z的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,当点Z在OO1的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|min=.
21.(1)证明 ∵|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,即|OA|=|OB|=|OC|=|OD|,
∴A,B,C,D四点都在圆x2+y2=5上,即A,B,C,D四点共圆.
(2)解 ∵A(0,),B(,-),∴=(,-).设P(x,y),则=(x,y-),
若=2,那么(,-)=(2x,2y-2),∴解得
∴点P对应的复数为i.
22.解 由题意,得-(10-a2)i,则+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i=()+(a2+2a-15)i.因为+z2可以与任意实数比较大小,所以+z2是实数,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又因为a+5≠0,所以a=3,所以z1=+i,z2=-1+i.
所以=(-1,1).
所以×(-1)+1×1=.
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