2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§1　1.1　构成空间几何体的基本元素--1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第六章　立体几何初步
§1　基本立体图形
1.1　构成空间几何体的基本元素　
1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台
课后训练巩固提升
A组
1.下列说法错误的是(　　).
A.多面体至少有四个面
B.棱柱至少有五个面
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
2.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面(　　).
A.至多有一个是直角三角形
B.至多有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形
D.一定不是直角三角形
3.(多选题)下列图形中,是三棱柱展开图的是(　　).
4.在下面四个平面图形中,各侧棱都相等的四面体的展开图是　　　　　.(填序号)
5.如图,该组合体的结构特征有以下几种说法:
①由一个长方体割去一个四棱柱构成;
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成;
③由一个长方体挖去一个四棱台构成;
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确的是　　　　　.(填序号)
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物,求其路程的最小值.
B组
1.下面四个几何体,如图所示,其中判断不正确的是(　　).
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
2.如图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为(　　).
A.模块①②⑤ B.模块①③⑤
C.模块②④⑤ D.模块③④⑤
3.如图,E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,则截面以下的几何体是(　　).
A.棱柱 B.棱台
C.棱锥 D.五面体
4.若正三棱锥的底面周长为9,侧棱长为2,则该棱锥的高为　　　　　.
5.如图,在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是　　　　　　.(填序号)
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
6.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;
(2)从点B经过点M到点C1的最短路线长及此时的值.
答案：
A组
1.D　多面体至少应由四个顶点组成(否则至多3个顶点,而3个顶点只围成一个平面图形),而四个顶点可以围成四个面,所以A正确;由棱柱的定义知B正确;长方体、正方体都是棱柱,所以C正确;三棱柱的侧面是平行四边形,不是三角形,所以D错误.
2.C　如图所示,三棱锥A1-ABC的三个侧面都是直角三角形.故选C.
3.ABD
4.①②　折叠后,易知①②均可围成三棱锥,即四面体,且各侧棱长都相等,而③④折叠后只能围成无底的四棱锥.
5.①②　本题中的组合体可以看成是由一个大的长方体割去一个四棱柱构成的,也可以看成是由一个小的长方体在上底面两侧各加一个四棱柱组合而成的.
6.解 把长方体的部分面展开,如图①②③所示,有三种情况:
在①②③三种展开图中,利用勾股定理可得AC1的长分别为,故路程的最小值为.
①
②
③
B组
1.B　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥,故B错误.
2.A　先将⑤放入⑥中的空缺部分,然后放上①②,可得正方体,可验证其余不符合题意,故选A.
3.A　选择左右两个平行平面为底面,则它符合棱柱的结构特征,故选A.
4.1　已知正三棱锥P-ABC,由题意得正三棱锥的底面边长为=3.因为该三棱锥为正三棱锥,顶点P在底面上的投影为底面△ABC的中心O,且AO=3sin 60°×,所以该三棱锥的高PO==1.
5.①③④⑤　①正确,如四边形A1D1CB为矩形;②错误,任意选择4个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形,如四边形ABCD为正方形,四边形A1D1CB为矩形;③正确,如四面体AA1BD;④正确,如四面体A1C1BD;⑤正确,如四面体B1ABD.
6.解 沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1'B',如图所示.
(1)矩形BB1B'1B'的长BB'=3×2=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面展开图的对角线长为BB1'==2.
(2)由侧面展开图可知,当B,M,C1三点共线时,由点B经点M到点C1的路线最短,所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.
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