2025北师版高中数学必修第二册练习题--第6章　§3　第2课时　空间图形的基本事实4及等角定理（含解析）

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2025北师版高中数学必修第二册
第2课时　空间图形的基本事实4及等角定理
课后训练巩固提升
A组
1.若直线a∥b,b∩c=A,则a与c的位置关系是(　　).
A.异面 B.相交
C.平行 D.异面或相交
2.如图,在长方体木块AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有(　　).
A.3条 B.4条
C.5条 D.6条
3.(多选题)点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则下图中,直线PQ与RS不是异面直线的是(　　).
4.在三棱锥A-BCD中,AD=BC,且AD⊥BC,E,F分别是AB,CD的中点,则EF与BC的夹角为(　　).
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
其中正确的是　　　　　.(填序号)
6.若AB∥A'B',AC∥A'C',则下列结论:
①∠BAC=∠B'A'C';
②∠ABC+∠A'B'C'=180°;
③∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°,
一定成立的是　　　　　.(填序号)
7.如图,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,求异面直线AB和CD的夹角的大小.
B组
1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　　).
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1的夹角为60°
2.在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是(　　).
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
3.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,且异面直线AC与BD的夹角为90°,则MN=(　　).
A.3 B.4
C.5 D.6
4.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是(　　).
A.直线AM与CC1是异面直线
B.直线MN与BD1是共面直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线MN与BB1所成的角为60°
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥AB,底面ABCD是平行四边形,则异面直线PA与CD的夹角是　　　　　.
6.如图,设E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且=λ,=μ,求证:
(1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;
(2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.
答案：
A组
1.D　a与c不可能平行,若a∥c,因为a∥b,所以b∥c,这与b∩c=A矛盾,而a与c异面、相交都有可能.
2.B　由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1.因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条.
3.ABD
4.B　如图,取BD的中点G,连接EG,GF,则GF∥BC,
∴∠EFG或其补角即为异面直线EF与BC的夹角.
∵EG=AD,GF=BC,且AD=BC,
∴EG=GF.
∵AD⊥BC,EG∥AD,GF∥BC,
∴EG⊥GF.
∴△EGF为等腰直角三角形.
∴∠EFG=45°.
故选B.
5.①③　把正方体展开图还原为原来的正方体,如图所示,
则AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
6.③　∵AB∥A'B',AC∥A'C',
∴∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
7.解 如图所示,
在BD上取点M使BM=MD,连接EM,MF.
∵,∴EM∥AB,且EM=AB,MF∥DC,且MF=DC.
∴∠EMF或其补角为异面直线AB和CD的夹角.
∵AB=3,CD=3,∴EM=2,MF=1.
又EF=,∴MF2+EF2=EM2.∴∠MFE=90°.
在Rt△MFE中,∵sin∠EMF=,
∴∠EMF=60°.
∴异面直线AB和CD的夹角为60°.
B组
1.C　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,所以B错误;同理AE与B1C1是异面直线,所以C正确;而AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角,因为E为BC的中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,所以D错误.
2.D　如图,取BC的中点H,连接MH,HN,MN.
根据题意有MH=AC,MH∥AC,HN=BD,HN∥BD.
在△MNH中,由两边之和大于第三边,知MN3.C　如图,取AD的中点P,连接PM,PN,则BD∥PM,AC∥PN,PM=BD=3,PN=AC=4,
∴∠MPN或其补角为异面直线AC与BD的夹角.
又异面直线AC与BD的夹角为90°,
∴∠MPN=90°,
∴MN==5.
4.AC　∵CC1 平面C1CDD1,M∈平面C1CDD1,A 平面C1CDD1,
∴直线AM与CC1是异面直线.故A正确.
同理,直线MN与BD1是异面直线,直线BN与MB1是异面直线.故B错误,C正确.
∵BB1∥CC1,∴∠MNC1或其补角为直线MN与BB1的夹角.
∵M,N分别为C1D1,CC1的中点,C1D1=CC1,∠CC1D1=90°,
∴MC1=NC1,∴∠MNC1=45°,即直线MN与BB1的夹角为45°.故D错误.
故选AC.
5.90°　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.
∴∠PAB或其补角就是异面直线PA与CD的夹角.
又PA⊥AB,∴∠PAB=90°.
6.证明 在△ABD中,因为=λ,
所以EH∥BD,且EH=λBD.
在△CBD中,因为=μ,
所以FG∥BD,且FG=μBD,所以EH∥FG,
所以顶点E,F,G,H在由EH和FG确定的平面内.
(1)当λ=μ,即EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形;
(2)当λ≠μ,即EH≠FG时,四边形EFGH是梯形.
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