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专题03椭圆的概念与几何性质
【清单01】椭圆的概念与标准方程
一．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)半焦距：焦距的一半．
二.椭圆的标准方程对比
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【清单02】椭圆的几何性质与离心率的求法
一.椭圆的几何性质汇总
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率 e＝(0二.椭圆的离心率
1.定义：e＝.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【清单03】直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离，相切，相交三种位置关系，如图所示。
利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
直线与椭圆相交有两个公共点；
直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
直线与椭圆相离无公共点；
直线与椭圆相交有两个公共点；
二．弦长问题
1.定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦。
2.弦长公式：设直线交椭圆与两点，则||=＝·.
三．中点弦问题
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法:利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
【考点题型一】椭圆的概念与标准方程
方法总结：
我们把平面内与两个定点F1，F2,的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距
【例1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】先根据椭圆的标准方程，判断出和是椭圆的两个焦点及，，的值，再根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值可得结论.
【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，，
所以，所以焦点坐标为：和.
因为表示点到两点和的距离之和；
根据椭圆的定义，所以.
故选：A.
【变式1-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程.
【详解】由题意得，
当时，，解得，故，
所以，
因为，所以，即，解得，
故，
所以，解得，
所以，
椭圆C的标准方程为.
故选：A
【变式1-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由椭圆面积公式求得关于a,b的关系式，结合等边三角形性质可得a,b的基本关系，联立方程即可求解.
【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①，
又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②，
联立①②得：，
故椭圆的方程为.
故选：A
【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.
【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
故选：D
【变式1-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得，的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得参数的值，求出点到直线的距离及弦长的值，进而求出的面积．
【详解】（1）由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）由（1）可得右焦点，
当直线的斜率为0时，则直线的方程为，
因为，可得，，
所以，，，显然与，与已知条件矛盾，
所以直线的斜率不为0，
由于，故设直线的方程为，且，
设 ， ，
联立，整理可得：，
可得①,②
因为，即,,，
可得，即，③
将③代入①，可得，，
再代入②可得：，可得，
点到直线的距离，
弦长，
所以
由于，且，所以．
，
【考点题型二】椭圆的离心率
方法总结：
1.定义：e＝.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【分析】求出，根据斜率得到方程，结合得到，求出离心率.
【详解】由题意得，中令得，，
由于直线的斜率为，故，则①，
又②，联立①②得，，所以，
解得或（舍）.
故答案为：.
【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设切线为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由得，进而，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离公式可得，则，即可求解.
【详解】如图，设切线方程为，
，消去，得，
则①，又，所以，
代入①，得，则，整理得②.
又圆心到直线的距离等于半径，半径，
则，解得，代入②，整理得，
所以，由，解得.
故选：C
【变式2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意求出，作轴，利用三角形相似求出点坐标，代入椭圆方程，即可得的关系，即可求得椭圆离心率.
【详解】由题意知点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，
故轴，将代入得，
则，即，即，
作轴，垂足为E，设，
则，故∽，
由可得，
故，则；
，则,
将Q点坐标代入得，
结合得，
故选：D
【变式2-3】（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据给定的条件，结合椭圆定义用a表示，在中利用余弦定理列式计算作答.
【详解】依题意，，由，
得：，而，
于是得，
令椭圆半焦距为c，有，如图，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，
因此，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
【变式2-4】（22-23高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【考点题型三】焦点三角形
方法总结：求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果.
【详解】由题知，椭圆，
则长轴，焦距，
的周长为.
故选：D
【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，设，结合椭圆的定义以及勾股定理列出方程，再由三角形的面积公式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，设，
则，所以，
解得，所以.
故选：A
【变式3-2】（21-22高二上·黑龙江大庆·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【答案】B
【分析】由椭圆定义得，在中，利用余弦定理可构造出关于的方程，解方程可求得结果.
【详解】解：由椭圆定义可知：，
，
，
即
∴
故选：B
【变式3-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解.
【详解】如图所示：
由题意，，，
所以不妨设，
而由椭圆定义有，
所以，
所以，
在中，由余弦定理有，
在中，由余弦定理有，
交叉相乘得，即，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解.
【变式3-4】（21-22高二上·江苏扬州·期中）已知平面上两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)当动点P满足时，求P点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据动点满足的几何性质和椭圆的定义可得动点的轨迹方程；
（2）设，根据和椭圆定义得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.
【详解】（1）因为，
由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，
又因为，，所以椭圆焦点在轴上，半焦距，故，
故方程为：.
（2）由（1）知，、是椭圆的两个焦点，设，
在中，因为，
所以，即，
又，所以，
在中，，
又，所以，得P点的纵坐标为．
【考点题型四】和差最值问题
方法总结：总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【例4】（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．1 B．b
C．3 D．3b
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】设该椭圆的右焦点为，
因为点P在C上，所以，
所以，
当三点共线时，有最大值，即，
所以的最大值为，
故选：C
【变式4-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．
【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设椭圆的左焦点为，即，
则，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值为，
故选：D．
【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个
D．的取值范围为
【答案】AD
【分析】求出椭圆方程，利用动点的位置变化，研究的取值范围判断A；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C；利用三角形不等式求解判断D.
【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得，
将代入，则，解得，不妨令，，
由，则，即，将其代入，可得，
化简得，由，解得，则椭圆，
对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图：
由椭圆，则，，在中，，
由对称性得，因此的取值范围为，A正确；
对于B，如图：
设，，则，，
在中，由余弦定理得，即，整理得，
因此，B错误；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，此时的坐标为或，
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去得，
由，则方程有解，C错误；
对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号，
因此，D正确.
故选：AD
【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知可求得点的轨迹方程为（），即椭圆.根据椭圆的定义转化为求的最值，结合图象，即可得出答案.
【详解】设，，则，，
由已知可得，，即，
整理可得，.
所以，点的轨迹方程为（）.
所以，，，，所以.
则为椭圆的左焦点，设右焦点为，
根据椭圆的定义有，
所以，
所以，.
①当时，根据三边关系可知有，
当且仅当三点共线时，等号成立，
即位于图中点时，有最大值为，
所以，；
②当时，根据三边关系可知有，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
即位于图中点时，有最小值为，
所以，.
综上所述，.
故答案为：.
【变式4-4】（22-23高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，
故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，
而,
故的最小值为，
故答案为：
【考点题型五】点与椭圆直线与椭圆的位置关系
方法总结：
1.点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1.
2.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【例5】（21-22高二上·浙江·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论.
【详解】因为直线和圆没有交点，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
即点在圆内，
又因为圆内切于椭圆，
所以点在椭圆内，
即过点的直线与椭圆有两个交点.
故选：C.
【变式5-1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果.
【详解】对于直线，整理得，
令，解得，
故直线过定点.
∵，则点在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
【变式5-2】（21-22高二上·安徽·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可.
【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为，
因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，
所以该圆与已知圆相切，
又两圆圆心间距离为，
所以或（无解，舍去），解得
故选：C.
【变式5-3】（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解.
【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点，
直线与椭圆恒有公共点，
即点在椭圆内或椭圆上，，即，
又，否则是圆而非椭圆，
或，即实数的取值范围是.
故答案为：
【变式5-4】（22-23高二上·安徽·期中）已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，利用点差法，结合点E在C的内部可得，求解即可
【详解】设C上关于直线对称的两点分别为，，其中点为，
则，，两式相减，
得，
由，得，
又，，
所以，即，又，
所以，，即，
又点E在C的内部，
所以，所以．
故选：C．
【考点题型六】直线与圆弦长问题
方法总结：
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝＝ ·
【例6】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ．
【答案】
【分析】由，可得两点在直线上，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解.
【详解】由，得，
故两点在直线上，
联立，消得，
恒成立，
则，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：由，得出两点在直线上，是解决本题的关键.
【变式6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
【答案】/
【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得.
【详解】由题意可知，得，所以，
所以椭圆方程为，
椭圆的右焦点为，当时，，得，
所以.
故答案为：
【变式6-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及弦的长；
(2)椭圆上有一动点，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据已知条件和平方关系求出椭圆方程，然后联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式运算即可求解.
（2）由题意只需求出动点到直线的最大值即可，此时可利用三角换元结合辅助角公式、三角函数性质即可，最终结合弦的长即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，
设，
而过点且斜率为1的直线的方程为，即，
将其与椭圆方程联立得，消去并整理得，
所以，
所以弦的长为
.
（2）
由（1）椭圆的方程及弦的长分别为，，且直线的方程为，
由题意动点在椭圆上，不妨设点，
所以点到直线的距离
，
而，
所以，
所以，
所以点到直线的距离有最大值，
所以，
即的最大值为.
【变式6-3】（22-23高二上·山西太原·期中）已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点.
(1)若直线的方程为，求的面积；
(2)若的面积为，证明：和均为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知曲线的方程为，进而直线的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得，原点到直线的距离为，再计算面积即可；
（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得，再计算，即可证明.
【详解】（1）解：动点与定点的距离为，
到定直线的距离为，
所以，化简得，
所以，曲线的方程为；
所以，联立方程得，
所以，，
所以，原点到直线的距离为，
，
所以，的面积
所以，的面积为
（2）解：由（1）曲线的方程为，
因为直线的斜率存在，设其方程为，
与椭圆方程联立得，
， ，
原点到直线的距离为，
，
所以的面积为，
化简得，即，
，
，
所以为定值.
所以，
所以，为定值.
当斜率不存在时，设其方程为，
与椭圆方程联立得，
所以，
所以，，
所以，的面积为，解得，
所以，，
综上，为定值，为定值.
【变式6-4】（20-21高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C：的离心率，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，P是线段AB上的点，直线交椭圆C于M，N两点．若是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点列关于方程即可求解出椭圆的方程;
（2）联立直线与椭圆的方程，用m表示MN 的长，再根据三角形的斜边长列等式即可求解参数m的值.
【详解】（1）根据题意，
故椭圆的方程为：
（2）由（1）知，点坐标为（-2，0），点坐标为（0，1）
所以线段AB的方程为：，
与间的距离为：
直线与椭圆相交于M，N两点，联立方程可得：
化简计算得：
且，
从而得，
根据题意为斜边长为直角三角形
或时，
，，即
或，，即或
计算得：，解得或
，此时，MN的方程为；
时，，即，解得
此时，MN的方程为；
所以直线MN的方程为或
【考点题型七】中点弦
方法总结：解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 .
【答案】
【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程．
【详解】由已知条件可知，，
联立，消去并整理得：
设，，
则，
则，
由，则，
又因为,
所以，
解得
所以椭圆方程为
故答案为：
【变式7-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.
【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则，
即椭圆，所以P点为椭圆内一点，
设，则，，
两式相减得，变形得，
因为点为线段的中点，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
【变式7-2】（20-21高二上·江苏·期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6 B．12
C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据已知条件, 作出图形, 连接的中点与椭圆的两个焦点, 便会得到三角形的中位线, 根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出.
【详解】解：如图
设的中点为，椭圆的左右焦点分别为,连接,,
是的中点, 是的中点, 是，
,
同理:,
在椭圆上,
+=6
+=12.
故选：B.
【变式7-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
(1)若是线段AB的中点，求直线l的方程；
(2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率;
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可.
【详解】（1）设，，
则两式相减，得，
即．
因为是线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即．
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，
只需证，即证．
设直线AB的方程为，
由消x得，
所以，．
所以．
因为，
所以，即点A，D关于x轴对称．
【变式7-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交．
（2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得．
【详解】（1）因为弦被点平分，所以
设交点坐标，
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的一般式方程为
联立椭圆与直线方程得 ，直线与双曲线相交，满足题意．
所以直线方程为，
（2）由（1）知：，
由（1）得，
，
所以．
【考点题型八】轨迹方程问题
方法总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
（1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
（2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。
（3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法
【例8】（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
【答案】C
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹.
【详解】连接，
因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以，
因为，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆.
故选：C
【变式8-1】(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若动圆与圆外切，且与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是一个完整的椭圆
B．若动点到的距离是到直线的距离的，则动点的轨迹是一个完整的椭圆
C．将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆
D．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹是一个完整的椭圆
【答案】BC
【分析】利用椭圆的定义，结合椭圆轨迹方程的求解方法一一求解即可判断.
【详解】对A，如图，
设动圆的半径为，
根据动圆与圆外切，且与圆内切，
可得，，所以，
所以动圆的圆心的轨迹是一个椭圆，方程为
但不包含点，因为此时动圆变成了一个点，不满足题意，A错误；
对B，设，根据题意可得，，
整理得，，表示完整的椭圆，B正确；
对C，将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
得到表示完整的椭圆，C正确；
对D，设，
，整理得，，
但因为均存在，所以，所以不是完整的椭圆，D错误；
故选:BC.
【变式8-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线：是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5.
D．点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【答案】ABC
【分析】对A，设，根据定义建立关系可求出；对B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C，根据定义转化为求即可；对D，易判断为交点.
【详解】设，因为点到点的距离是点到直线的距离的一半，所以，化简得，故A正确；
联立方程可得，解得，故存在，所以直线：是“最远距离直线”，故B正确；
过P作PB垂直直线，垂足为B，则由题可得，则，则由图可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故C正确；
由可得，即圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点，故D错误.
故选：ABC.
【变式8-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)椭圆，的方程是：
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程；
（2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程.
【详解】（1）设，，，因为，
所以，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.
设椭圆C的方程为，记，则，，
所以，，所以，所以的标准方程为.
（2）设点，则，
作差得，除以得，
又由点是AB的中点，则有，所以，
变形可得，所以直线的方程是即，
经检验符合题意，故直线的方程为.
【变式8-4】（20-21高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义即可得解.
（2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解.
【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，
其中，
所以所求动点P的轨迹C的方程为．
（2）设,
联立直线与椭圆的方程,消y整理得：，
所以，，，
∴.
【考点题型九】椭圆切线相关问题
方法总结：椭圆上的任意一点P（）,过点P的切线方程为：
【例9】（22-23高二上·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，点在椭圆的外部.进而可推得，则，开方即可得出答案.
【详解】由题意可得，点在椭圆的外部.
所以，，所以.
又椭圆焦点在轴上，所以，所以.
又，所以，所以.
故选：C.
【变式9-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为点关于的对称点为，则，
因为，且，
所以，，
所以，，可得，
则，
所以，，故．
故选：D
【变式9-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．点P为椭圆（，为焦点）上一点，点P处的切线平分外角．已知椭圆，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】先求得直线l的方程，然后求得直线的方程，进而求得M点坐标，进而求解.
【详解】由题意，设直线l的方程为，即，
联立，整理得，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
对于椭圆，，，
则，即，，
所以直线的方程为，
联立，解得，即，
则.
故答案为：.
【变式9-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.
(1)若点的坐标为，证明：直线；
(2)求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设切线方程为，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可；
（2）分过点的一条切线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，联立方程，再根据结合韦达定理证明即可得出答案.
【详解】（1）由题意切线的斜率存在，设切线方程为，
联立，消得，
则，
所以，即，
所以；
（2）设，则，
椭圆：得长半轴长为，短半轴长为，
当过点的一条切线斜率不存在时，不妨取这条切线方程为，
此时，则，解得，
而直线与椭圆相切，
所以当过点的一条切线斜率不存在时，，
当过点的切线斜率存在时，则，
设切线方程为，
联立，消得，
则，
化简得，
所以，
所以，
综上所述，，
所以线段为圆的直径，
所以.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【变式9-4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，，根据可得关系即得点的轨迹方程.
（2）化简，先计算当与一条与轴垂直时值，再设直线、方程联立，计算，换元转化为二次函数求值域即可.
【详解】（1）设，，，
则，．
由得，
从而，即曲线的方程为．
（2）由于，所以．
当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时，
不妨设，
可得
．
当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中．
将的方程与曲线的方程联立消去得，
显然对都有．设，，
则，，
因此．
同理可得．
所以．
令，有．
由于，因此，
从而．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
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专题03椭圆的概念与几何性质
【清单01】椭圆的概念与标准方程
一．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)焦点：两个定点F1，F2.
(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
(4)半焦距：焦距的一半．
二.椭圆的标准方程对比
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【清单02】椭圆的几何性质与离心率的求法
一.椭圆的几何性质汇总
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率 e＝(0二.椭圆的离心率
1.定义：e＝.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【清单03】直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离，相切，相交三种位置关系，如图所示。
利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：
直线与椭圆相交有两个公共点；
直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
直线与椭圆相离无公共点；
直线与椭圆相交有两个公共点；
二．弦长问题
1.定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦。
2.弦长公式：设直线交椭圆与两点，则||=＝·.
三．中点弦问题
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法:利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
【考点题型一】椭圆的概念与标准方程
方法总结：
我们把平面内与两个定点F1，F2,的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距
【例1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）点在椭圆上，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24高二上·江苏泰州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积．
【考点题型二】椭圆的离心率
方法总结：
1.定义：e＝.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e＝=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【例2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线的斜率为，则椭圆C的离心率为 .
【变式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·江苏南通·期中）设椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为，连接并延长交椭圆C于点P，若，则该椭圆的离心率为 ．
【变式2-4】（22-23高二上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【考点题型三】焦点三角形
方法总结：求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式3-2】（21-22高二上·黑龙江大庆·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【变式3-3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 .
【变式3-4】（21-22高二上·江苏扬州·期中）已知平面上两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)当动点P满足时，求P点的纵坐标．
【考点题型四】和差最值问题
方法总结：总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【例4】（23-24高二上·江苏连云港·期中）设椭圆C：的左焦点为F，下顶点为B，点P在C上，则的最大值为（ ）
A．1 B．b
C．3 D．3b
【变式4-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个
D．的取值范围为
【变式4-3】（23-24高二上·江苏扬州·期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的取值范围为 .
【变式4-4】（22-23高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
【考点题型五】点与椭圆直线与椭圆的位置关系
方法总结：
1.点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1.
2.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【例5】（21-22高二上·浙江·期中）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．不确定
【变式5-1】（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【变式5-2】（21-22高二上·安徽·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
【变式5-4】（22-23高二上·安徽·期中）已知椭圆C：上存在关于直线l：对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型六】直线与圆弦长问题
方法总结：
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝＝ ·
【例6】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆C：，，是椭圆C上两点，，则弦长为 ．
【变式6-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ．
【变式6-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，短半轴的长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程及弦的长；
(2)椭圆上有一动点，求的最大值．
【变式6-3】（22-23高二上·山西太原·期中）已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点.
(1)若直线的方程为，求的面积；
(2)若的面积为，证明：和均为定值.
【变式6-4】（20-21高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C：的离心率，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，P是线段AB上的点，直线交椭圆C于M，N两点．若是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．
【考点题型七】中点弦
方法总结：解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【例7】（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 .
【变式7-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【变式7-2】（20-21高二上·江苏·期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6 B．12
C．18 D．24
【变式7-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
(1)若是线段AB的中点，求直线l的方程；
(2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【变式7-4】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求.
【考点题型八】轨迹方程问题
方法总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
（1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
（2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。
（3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法
【例8】（23-24高二上·广东深圳·期中）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ）
A．圆 B．射线
C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆
【变式8-1】(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若动圆与圆外切，且与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是一个完整的椭圆
B．若动点到的距离是到直线的距离的，则动点的轨迹是一个完整的椭圆
C．将椭圆上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则得到的曲线是一个完整的椭圆
D．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹是一个完整的椭圆
【变式8-2】（21-22高二上·江苏镇江·期中）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹方程是
B．直线：是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5.
D．点P的轨迹与圆：是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【变式8-3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【变式8-4】（20-21高二上·广西贵港·期中）已知平面内两定点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．
【考点题型九】椭圆切线相关问题
方法总结：椭圆上的任意一点P（）,过点P的切线方程为：
【例9】（22-23高二上·湖南郴州·期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．点P为椭圆（，为焦点）上一点，点P处的切线平分外角．已知椭圆，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则线段的长为 ．
【变式9-3】（23-24高二上·江苏南京·期中）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，交圆于，.
(1)若点的坐标为，证明：直线；
(2)求线段的长.
【变式9-4】（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．
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