陕西省咸阳市武功县普集高级中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A.
B.
C.
D.
2.已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.三点在同一条直线上，则值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.设点是点关于面的对称点，则，两点距离为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.在空间直角坐标系中，，，，，三角形重心为，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 若两条不重合的直线，的方向向量分别是，则
B. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
C. 若直线的方向向量是，平面的法向量是，则
D. 若两个不同的平面，的法向量分别是，则
10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
11.在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. 平面 D. 直线和所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点且其方向向量为，则直线的方程为______．
13.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于______．
14.在直棱柱中，，，分别是，的中点，，则二面角的余弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，设，，．
若实数使与垂直，求值．
求在上的投影向量．
16.本小题分
如图所示，平行六面体中，，，．
用向量表示向量，并求；
求．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，点，，，分别为，，，的中点．
证明：平面平面；
求平面与平面间的距离．
18.本小题分
棱长为的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
证明：C.
求
求的长．
19.本小题分
如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
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14.
15.解：依题意，，
，
由与垂直，得，解得，
所以．
由知，，，
所以在上的投影向量为．
16.解：，
因为，，，
所以，，
所以，
所以．
由知，，，
而，，
所以，
所以．
17.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
，，，
从而，
所以，所以，．
又平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
因为，
所以平面平面；
解：因为平面平面，
所以点到平面的距离即为平面与平面间的距离．
设是平面的法向量，
则有即，可取，
由于，
所以点到平面的距离为，
所以平面与平面间的距离为．
18.解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；
则，，，，；
，，
，
，
；
由知，，，，
，
，，
，；
为的中点，，，
，
，
即的长为．
19.解：证明：因为平面，四边形为矩形，
因此，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
因为，
所以，即，
因为，
所以，即，
又因为，平面，平面，
所以平面；
因为平面，所以为平面的一个法向量，
由知为平面的一个法向量，
所以，，
显然二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，
又，
所以点到平面的距离为：
．
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