广东省广州市奥林匹克中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
4.直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则( )
A. B. C. D.
6.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
7.已知点，，，设过点的直线为，取线段上一点若则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 直线的一个方向向量为
B. ，，三点共线
C. 直线必过定点
D. 经过点，倾斜角为的直线方程为
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，到，，，的距离都等于下列选项中，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，设，，以下正确的是( )
A. 平面平面
B. 当且仅当时，四边形的面积最小
C. 四边形的周长，是单调函数
D. 四棱锥的体积保持不变
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点关于平面的对称点坐标为______．
13.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为______．
14.如图，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内包括圆周若，则点形成的轨迹长度为______，点与距离的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边和所在直线的方程；
求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
以、、为一组基底表示向量；
若，，，求．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
如图，平行六面体中，与交于点，底面是边长为的正方形，且底面．
证明：；
若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．
求证：平面；
若判断直线是否在平面内，说明理由．
设与平面所成角为，求的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由截距式可得：边所在直线的方程为，
即．
由两点式可得：边所在直线的方程为，
即．
由题意，得点的坐标为，
由两点式，得边所在直线的方程为，
即，
所以．
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积．
16.解：为线段的中点，，
，，
；
．
17.解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则，
异面直线与所成角的余弦值为；
连接，则，可得平面，
直线到平面的距离等于到平面的距离，又，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
又，
直线到平面的距离为．
18.解：证明：因为四边形为正方形，所以，
因为底面，面，所以，
因为，，，面，，
所以面，
又因为面，所以，
又平行六面体，所以，
所以；
取中点，连接，，
因为四边形为正方形，所以，
因为底面，面，所以，
因为，，，面，，
所以面，
又面，所以，
所以是二面角的平面角，
又二面角的正切值为，所以，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
因为底面，所以底面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
19.解：证明：因为平面，平面，所以，
又因为，、是平面内相交直线，故CD平面，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，故
因为，且、、有公共点，故直线在平面内；
由可知，
设，
则，
故
，
令，
则，
而，，故．
第1页，共1页