湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省荆州市部分学校高二（上）联考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.一组数据，，，，，，，的上四分位数是( )
A. B. C. D.
3.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与互斥 B.
C. D. ，，两两相互独立
7.若某圆台有内切球与圆台的上下底面及每条母线均相切的球，且母线与底面所成角的正弦值为，则
此圆台与其内切球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，是的外心，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
10.已知函数，，下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的值域为
D. 函数的一条对称轴为
11.在棱长为的正方体中，、、、分别为棱、、、的中点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的外接球的表面积为
B. 过点，，作正方体的截面，则截面面积为
C. 若为线段上一动点包括端点，则直线与平面所成角的正弦值的范围为
D. 若为线段上一动点包括端点，过点，，的平面分别交，于，，则的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，两点到直线的距离相等，则 ______．
13.在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则 ______．
14.对任意两个非零的平面向量和，定义：，若平面向量，满足，
且和都在集合中，则 ______，， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若是边上的一点，且满足，求的最大值．
16.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为．
求直线的方程；
求的面积．
17.本小题分
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组，其中第组的频数的平方为第组和第组频数的积请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
若根据这次成绩，年级准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取名同学，再从这名同学中随机选出人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率．
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
18.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心将沿折起到的位置，使，存在动点使如图所示．
求证：平面；
当时，求二面角的正弦值；
设直线与平面所成线面角为，求的最大值．
19.本小题分
对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”．
设，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
若，向量组是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由；
已知、、均是向量组的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14. 或
15.解：因为，可得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
可得，
因为，所以，
则，，
又因为，
所以；
因为，可得，
所以，即平分，
由等面积可得，
整理可得，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，可得时取等号，
所以，
即的最大值为．
16.解：由题意可得，
因为所在直线的方程为，设直线的方程为：，
将点代入直线的方程：，可得，
所以直线的方程为；
设，则的中点，
联立，解得，，
即，
联立，解得，，
即，
所以，
到直线的距离，
所以．
17.解：由第组的频数的平方为第组和第组频数的积可知，，解得，
又，解得，
所以，，
成绩落在内的频率为：，落在内的频率为：，
设第百分位数为，则，解得，
所以晋级分数线划为分合理；
由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取人和人，分别记为，，，和，，
则所有的抽样有：，共个样本点，
“抽到的两位同学来自不同小组”，
则，共个样本点，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，
剔除其中的和两个分数，设剩余个数为，，，，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余个分数的平均数：；
方差：．
18.证明：翻折前，由，，知，，
翻折后，，，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面．
解：因为经过的重心，且，，
所以，，，
由知平面，
所以，，
所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
当时，点是的中点，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
设二面角的夹角为，
则，，
所以，
故二面角的正弦值为．
解：由知，，，，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
所以，，
当，即时，取得最大值．
19.解：由题意可得：，
因为，则，，
则，即，
整理得，
解得，
所以实数的取值范围为；
存在，理由如下：
假设存在“向量”，
因为，
且，
则由题意，只需要使得，
又因为，
则，
可得，
由，
即，
整理得，
解得，
又因为，即，，满足上式，
所以存在“向量”，分别为，，满足题意；
证明：由题意得：，，
即，，
同理，，
三式相加并化简得：，
即，，
所以，
由，可得，
可得
，
所以可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积．
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