辽宁省沈阳二中2024-2025学年高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳二中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点，倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知两条直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.点到直线：的距离最大时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.关于空间向量，以下说法错误的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则与的夹角是锐角
C. 已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
5.如图，正四棱柱中，，点和分别是线段与上的动点，则间最小距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.直线过点，且与圆：相交所形成的长度为整数的弦的条数为( )
A. B. C. D.
7.直线关于直线对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥以为顶点的侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列判断错误的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且，，则
D. 若，是异面直线，，，且，，则
10.下列结论正确的是( )
A. 已知点在圆：上，则的最大值是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称
11.设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有( )
A. 的取值范围为 B. 四边形面积的最小值为
C. 存在点使 D. 直线过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点在圆为常数外，则实数的可能取值为______．
13.已知三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是______．
14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设．
求的长；
求异面直线和夹角的余弦值．
16.本小题分
在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段不包括两个端点上．
若为的中点，证明：平面；
若直线与平面所成的角正弦值为，求．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，．
求证：平面平面；
设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切．
求圆的标准方程．
若是圆上任意一点，求的取值范围．
已知，为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点异于点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
求证：；
若，求三棱台的体积；
若到平面的距离为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.或
14.
15.解：在平行六面体中，
因为，，，，，是的中点，
，
所以，
由题意，，，
，，
，
所以，
所以；
，
，，
所以，．
设异面直线和夹角为，则，
所以，．
所以异面直线和夹角的余弦值为．
16.解：证明：根据题意可建系如图：
则，，，，，，
设，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
若为的中点，则，
，又平面，
平面；
由可知直线与平面所成的角正弦值为：
，，，
，，解得，
．
17.证明：平面，平面，
，
又，，且，平面，
平面，
平面，，
又，，且，平面，
平面，
平面，
平面平面．
解：由知平面，
平面，
，
四边形为正方形，即，且，
以点为原点，，所在直线分别为，轴，以过点和垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，，
同理可得，平面的一个法向量为，
，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：依题可设圆心坐标为，
则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，解得，
故圆的标准方程为；
若是圆上任意一点，
则表示圆上任意一点到点距离的平方，
所以的最大值为；
的最小值为：．
所以的取值范围为：；
假设存在定点，设，，
则，
则，
当，
即，舍去时，为定值，且定值为，
故存在定点，且的坐标为．
19.证明：取的中点，连接，，
由题意知，四边形是等腰梯形，是等边三角形，
所以，，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：由知，，，
所以就是二面角的平面角，即，
若，则，即，
因为，，所以平面，
即三棱台的高为，
因为，，
所以，，，
所以三棱台的体积．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，其中，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为到平面的距离为，
所以，整理得，即，
解得或舍，
故的值为．
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