北京市海淀区中关村中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，用符号语言可表述为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
2.如图，是的直观图，其中，，且，那么的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知某圆锥的母线长为，高为，则圆锥的全面积为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与平面，，，能使的充分条件是( )
，
，
，
，
A. B. C. D.
5.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
6.如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. ，，三点共线 B. ，，，不共面
C. ，，，不共面 D. ，，，共面
7.正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，为的中点，为棱上的动点不包括端点，过点，，的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( )
A. 四边形 B. 等腰梯形 C. 五边形 D. 六边形
9.正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是( )
平面
的面积与面积相等
三棱锥的体积为定值
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图所示，在所有棱长均为的三棱柱上，有一只蚂蚁从点出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点，则爬行的最短路线长为______．
12.如图，在正三棱柱中，是的中点，则在所有的棱中与直线和都垂直的有______．
13.如图，在正方体中，，，分别是，中点，则异面直线与所成角大小为______．
14.圆锥的底面半径为，母线与底面成角，过圆锥顶点作截面，且与圆锥的高成角，则底面圆心到截面的距离是______．
15.如图，在矩形中，，为的中点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，为的中点，如图某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：
恒有；恒有平面；
三棱锥的体积的最大值为；存在某个位置，使得平面平面．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，，分别是、的中点．
求证：平面；
求证：．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面已知是的中点，．
求证：平面平面；
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．
Ⅰ当是中点时，求证：平面；
Ⅱ若，求证：；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.、
13.
14.
15.
16.证明：，分别是，的中点，
．
又平面，平面
平面；
底面，底面，
，
，，平面，平面，
平面，
平面，
．
17.证明：因为为正三角形，且是的中点，
所以．
因为侧棱底面，，
所以底面．
又因为底面，所以．
而，平面，平面，
所以平面C.
因为平面，
所以平面平面C.
证明：连接，设，连接．
由已知得，四边形为正方形，则为的中点．
因为是的中点，
所以C.
又因为平面，平面，
所以平面D.
由可知平面，
所以与到平面的距离相等，
所以．
由题设及，得，且，
所以
，
所以三棱锥的体积为．
18.Ⅰ证明：因为点是中点，点是中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ证明：如图，取中点，连接，，，
因为侧面是正三角形，所以，
因为底面是菱形，且，所以是等边三角形，
所以，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
Ⅲ解：如图，取中点，连接，．
因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，
所以，
所以，
又因为，，
所以平面，
过作交于点，
因为，
所以点平面，
所以平面，
因为为的中点，，
所以，
所以．
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