浙江省金华市义乌二中高二（上）2024-2025学年月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省金华市义乌二中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D. 不存在
2.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A. 两人都中靶的概率为 B. 两人都不中靶的概率为
C. 恰有一人中靶的概率为 D. 至少一人中靶的概率为
6.已知点在线段上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美
丽抛物线”如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，
为正整数，依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，，为正整数若，当为时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A. 或 B. 或 C. 或 D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次校十佳歌手评比中，位评委给出的分数分别为，，，，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分分和一个最低分分后，对新数据下列说法正确的是( )
A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 平均数变小 D. 方差变大
10.下列选项正确的是( )
A. 若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B. “”是“直线与直线垂直”的充要条件
C. “”是“直线与直线平行”的充要条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
11.已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B.
C. 的最大值为
D. 的轨迹方程为
12.已知、分别为棱长为的正方体棱、上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 三棱锥的外接球体积的最大值为
C. 直线与直线所成角的余弦值的范围为
D. 当、为中点时，平面截正方体所形成的图形的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一组数据，，，，，，，的第百分位数是______．
14.点关于直线：的对称点的坐标为______．
15.已知在平面直角坐标系中，点，，点满足则当，，三点不共线时，面积的最大值为______．
16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在空间直角坐标系中，已知点，，．
若，求的值；
求的最小值．
18.本小题分
设顶点坐标，，，其中，圆为的外接圆．
求圆的方程
当变化时，圆是否过某一定点，请说明理由．
19.本小题分
已知直线：．
求证：直线过定点；
若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；
若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
20.本小题分
某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差
21.本小题分
已知在多面体中，，，，，且平面平面．
Ⅰ设点为线段的中点，试证明平面；
Ⅱ若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
22.本小题分
如图在菱形中，，，，，沿将向上折起得到棱锥如图所示，设二面角的平面角为．
当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为？
当为何值时，，平面与平面的夹角的余弦值为？
参考答案
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17.解：由题意可得，
因为，
解得或；
由空间两点间的距离公式，
得，
当时，有最小值．
18.解：是等腰三角形，对称轴为外接圆的圆心肯定在上．
作的中垂线，垂足为，交轴于，即为外接圆的圆心．
因为，，故，．
又是一个的直角三角形．故A．
所以，点的坐标为，圆的半径．
故圆的方程为：．
假设圆过某一定点那么当变化时，圆仍然过点，此点不会随着的变化而变化．那么，现在令变成了，即有，
两式相减化简得：．
因为，即，所以，得：．
得出，是一个根据和取值而变化的量．与我们之前假设的是一个不随变化而变化的定量矛盾，
所以，圆不过定点．
19.解：由直线方程变形可得
则有，解得，所以直线过定点．
结合图像：
当直线斜率不存在时，即时，直线：符合题意；
当直线斜率存在时，，解得；
综上可得，实数的取值范围为．
已知直线：，
令，得，得．
令，得，得，
则，当时，取到最大值．
此时，直线的方程为：．
20.解：一至六组的频率分别为，，，，，，
所以平均数估计为：，
由图可知，众数为，
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分；
前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
所以第分位数落在第组，设为，
则，
解得，
所以“防溺水达人”的成绩至少为分；
的频率为，的频率为，
所以的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为，
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为．
21.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，
由在中，所以，
由平面平面，且交线为，得平面，
因为，且，
又，，所以，且，
四边形为平行四边形，，
平面；
Ⅱ解：由平面，，
以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
由平面，所以直线与平面所成的角为，
所以，，
取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
由，得，故，
，
故二面角的余弦值为．
22.解因为，，所以．
因为在菱形中，，，
所以为正三角形，，
正的面积为，四边形的面积为，
而三棱锥和四棱锥有相同的高点到平面的距离，
所以其体积之比等于，
解得或，
因为，所以．
因为菱形的对角线互相垂直，
设与的交点为，在翻折的过程中，始终有，，
所以二面角的平面角为，
在棱锥中，显然有，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
可得，，
，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，
可得，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
可得，
由题意可得，
解得，
且，所以当时，．
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