2024-2025学年湖南省“炎德·英才·名校联考联合体”高二第一次联考(暨入学检测)数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省“炎德·英才·名校联考联合体”高二第一次联考(暨入学检测)数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知命题甲：“实数，满足”，乙：“实数，满足”，则甲是乙的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上单调递减，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案第一种方案：每次买斤猪肉第二种方案：每次买元猪肉下列说法正确的是( )
A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样 D. 采用哪种方案无法确定
8.表示不超过实数的最大整数，已知奇函数的定义域为，为偶函数，，对于区间上的任意，都有，若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量，，则下列说法错误的是( )
A. 若与的夹角为钝角，则
B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个，为
D. 若，则
10.随机抽取位同学对年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：，，，，，，，，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A. 均值为 B. 极差为
C. 方差为 D. 第百分位数为
11.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱图，图，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开图，得四棱锥和三棱锥各一个以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马图余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑图若图中的长方体是棱长为的正方体，则下列结论正确的是( )
A. 鳖臑中的四个直角三角形全等
B. 堑堵的表面积等于阳马与鳖臑的表面积之和
C. 鳖臑的体积等于阳马体积的一半
D. 鳖臑的内切球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，三点共线，对任意一点，有为锐角成立，则 ．
13.已知函数满足，则 ．
14.如图，已知点，在圆锥的底面圆周上，为圆锥顶点，为圆锥的底面中心，且圆锥的底面积为，，若与截面所成角为，则圆锥的侧面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数满足．
求
求在区间上的最小值．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
若，求的面积．
17.本小题分
随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人标准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险．
某市有关部门对全市万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了名成年女性的体脂
率作为样本绘制频率分布直方图如图．
求
如果女性体脂率为至属“偏胖”，体脂率超过属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有多少人
小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数”那么谁的体脂率更低
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．
证明：平面
已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为，猜是反面的概率为当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为假设每次扔硬币相互独立．
若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，，试比较，的大小
若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
(ⅰ)从下面中选出一定错误的结论：
．
(ⅱ)从(ⅰ)中选出一个可能正确的结论作为条件，用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：因为，
所以
，
所以，
所以，
解得，
又，所以．
由得
，
由，得，
则，则，
所以当，即时，取得最小值，
所以函数在区间上的最小值为．
16.解：因为，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，
即，所以，
又，所以．
由余弦定理得，
又，所以，所以．
所以．
17.解：由图可知，，解得．
因为女性体脂率为至的频率为，
女性体脂率超过的频率为，
所以全市女性“偏胖”约有万人，
“过胖”约有万人．
的频率为，
的频率为，
所以中位数位于内，设为，
则，解得
平均数为，
因为，所以小张的体脂率更低．
18.证明：在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，
所以，所以，
因为平面，平面，
所以，所以，
因为，，平面，
所以平面；
如图建立空间直角坐标系，
因为，
则有，
设，则有，
设平面的法向量为，
则，，即
令，则，
所以平面的一个法向量为，
则，
可知直线与平面所成角的正弦值等于
，
当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：猜测全部正确的概率为，
猜测全部错误的概率为，
因为，
所以当时，
当时，
当时，．
若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
则解得
所以
所以，．
因此，一定错误．
若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况：
两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为
有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为
两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为，
所以．
若选择，令，则，，从而，
所以，
记，，
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增，所以，
即的取值范围是
若选择，则，
此时，又，所以，解得．
令，则，，从而，
所以，
记，，由二次函数的性质可知，在区间上单调递减，
所以，
即的取值范围是

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