课件33张PPT。1.1 直角坐标系 本节课通过2004年的广东高考题——声响定位问题来引出本课的主题：平面直角坐标系.从而进行选择适当的坐标系，将平面几何问题代数化的思想方法的灌输。让学生体会到在平面直角坐标系下，通过选取不同的坐标系体会相同的曲线在不同坐标系下方程是不一样的，最后通过例题体会用坐标刻画点的位置和用角和距离刻画点P的位置之间有什么区别和联系！
在教学过程中有可能会遇到学生对于建标法有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性，因此在教学过程中要注意加强训练，让学生养成建立平面直角坐标系解决问题的方法.1.会选择适当的坐标系，会在坐标系中刻画点的位置
关系。
2.选择适当的坐标系，将平面几何问题代数化。
3.通过例题让学生体会用坐标刻画点的位置和用角和
距离刻画点的位置之间有什么区别和联系！
4.通过本节的学习让学生体会相同的曲线在不同坐标
系下的方程是不一样的。声响定位问题(2004年广东高考题) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立
坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）yxACP声响定位问题(2004年广东高考题)Bo 解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)故|PA|－ |PB|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
用y=－x代入上式，得 ，∵|PA|>|PB|,? 解决此类应用题的关键：坐标法1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明yx 以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).因此，BE与CF互相垂直.yx 你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?O?2?y=sinxy=sin2xyx引发思考：
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的1/2”的实质是什么？坐标压缩变换：结论：思考：O?2?y=sinxy=3sinxyx引发思考：
从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么？坐标压缩变换：结论：思考：O?2?y=sinxy=3sin2xyx请同学们用自己的语言来归纳一下平面直角坐标系的伸缩变换！坐标压缩变换：结论：坐标伸缩变换定义：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。的作用下，点P(x,y)对应 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。④由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？答案：y′＝3sin2x′答案：答案： 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。作业： P8 1, 4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）谢谢
大家@YOURNAME课件28张PPT。1.2 极坐标系 本节课在学习了平面直角坐标系的基础上，知道可以在直角坐标系中表示任意一个点M，通过路人问话的问题引导学生从另外一个角度去研究平面内点的位置，在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。本节重点学习极坐标的建立和点M的表示。
在学习过程中有的学生可能没有办法马上适应极坐标的思想方法，因为之前解决问题总是用平面直角坐标，可以通过练习加以区分二者的联系与区别。1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（ 建立极坐标
系的四要素）；
2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多
对一的对应关系；
3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写
出它的极坐标。目标在哪？在以…为X轴
以…为Y轴，
坐标是...以天河路为X轴
以广州大道为Y轴...请问：
去广州塔怎么走？痴线！以天河路为X轴
以广州大道为Y轴...以天河路为X轴
以广州大道为Y轴...从这向东
2000米。请问：
去广州塔怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。O极坐标系的四要素？二、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。特别强调：?表示线段OM的长度，既点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，既以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。例1：说出下图中各点的极坐标 特别规定：当M在极点时，它的极坐标
? = 0，? 可以取任意值。极点（0，?）（? ?R）
即极点有无数个极坐标。三、点的极坐标的表达式的研究如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式。1.这些极坐标之间有何异同？
2.这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角。例2：在极坐标系里描出下列各点.1.极坐标系的建立需确定几条？2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数种。是因为极角引起的。3.一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。极点；极径；长度单位和角度正方向。四、负极径说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（?，?）负极径时的规定：1.作射线OP，使?XOP= ? ;2.在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= ? ? ?1. 负极径的定义2.负极径的实例在极坐标系中画出点 M（-3，?/4）的位置.解：1.作射线OP，使?XOP= ?/4; 2.在OP的反向延长线上取一点M，使?OM?= 3.四、负极径3.关于负极径的思考 把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？四、负极径“负极径”真是“负”的？4.正、负极径时，点的确定过程比较画出点（3，?/4）和（-3，?/4）.四、负极径①点（3，?/4）②点（-3，?/4）5.负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也可以说成旋转 ? ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。四、负极径负极径总结：
极径是负的，等于极角增加 ?.
负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”.特别强调：以后不特别声明，? ? 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。练习：写出下列各点的负极径的极坐标。答：（-3， ? + ?/4）（-3， ? - ?/4）1.极径是正的时候：2.极径用“-3”：五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况探索点M（3， ）的所有极坐标五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况1.首先，给定极坐标M（?，?）在平面
上可以确定唯一的一点。2.反过来，给定平面上一点，却有
无数个极坐标。原因：极径有正有负；极角有无数个。但是，有统一表达式两个。如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.3.一点的极坐标有否统一的表达式？1.建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。有。（ρ，2kπ+θ）预习：
极坐标与直角坐标的互化再 见谢谢学习.课件21张PPT。1.2.2 极坐标与直角坐标的互化 本节课在上一节课学习了极坐标下表示点M的基础上继续研究在平面直角坐标系和极坐标系下表示点的区别，两者怎么样统一起来.通过回忆前面学过的极坐标系的建系方法，师生共同探讨得出两系互化公式。并且认识到本节的重点知识：在直角坐标和极坐标转化时应该注意什么。
通过本节的学习，让同学们知道在极坐标系与直角坐标系下分别表示点是点的不同的表示方式而已。1．记下极坐标与直角坐标的互化公式。
2．会用互化公式进行点的坐标转化。在极坐标系中描出下列各点：极坐标系是怎样定义的?极坐标系与直角坐标系有何异同? 在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相同的长度单位.设点M的极坐标为(ρ,θ)平面内的一个点的直角坐标是(1, ),
这个点如何用极坐标表示?极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ),x=ρcos θ, y=ρsin θ 通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取互化公式的三个前提条件：1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.解: 所以, 点M的直角坐标为例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标.例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.解: 因为点在第三象限, 所以 ，因此, 点M的极坐标为 。1.把点M 的极坐标 化成直角坐标；2.把点P的直角坐标 化成极坐标。，1.把点M 的极坐标 化成直角坐标；2.把点P的直角坐标 化成极坐标。用余弦定理求AB的长即可.推广：解：∠AOB = （1）点A关于极轴对称的点是_______________
（2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________
（3）点A关于直线 的对称点的极坐标是_______
1. 在极坐标系中，与点(－3, )重合的点是( )2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A.(－ρ,θ) B.(－ρ,－θ)
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)CDA.(3, ) B. (－3, － )
C. (3, － ) D. (－3, － ) 3.在极坐标系中,与点(－8, )关于极点对称的点的一个坐标是 ( )A.(8, ) B. (8, － )
C. (－8, ) D.(－8, － ) A 1.已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。2.已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.再 见敬请指导.课件29张PPT。1.3.1 圆的极坐标方程 本文在学习极坐标的基础上来进一步学习简单曲线的极坐标方程，具体为教材：P12---P13。先学习体会极坐标方程的定义（任意一点）；不同圆心的圆的极坐标方程的求法和方程的表示；感受课本的递进研究方法。最后巩固并复习在平面直角坐标系中圆的方程的求法。
本节课的关键在于让学生体会到极坐标方程是涉及长度与角度的问题，列方程实质是解直角或斜三角形问题，要使用旧的三角知识。1.会求圆心不同的圆的极坐标方程。
2.体会圆的极坐标方程的推出过程。
3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受
极坐标系中求曲线方程的方法。
1.在平面直角坐标系中,曲线C和方程f(x,y)=0满足(1)曲线C上点的坐标都是方程的解
(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C是方程 f(x,y)=0 的曲线。
3.圆的一般式方程：
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 02.圆的标准方程：
(x-a)2 + (y-b)2 =r24.极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)x=ρcosθ, y=ρsinθ5、正弦定理：（其中：R为△ABC的外接圆半径）6.余弦定理：极坐标方程：一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(?,?)=0有如下关系（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）
符合方程f(?,?)=0;（２）方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。则称曲线Ｃ的方程是f(?,?)=0 。二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标?与?之间的关系，然后列出方程f(?,?)=0 ，再化简并说明。1.建极坐标系，设动点M (?,?)；2.找曲线上任一点满足的几何条件；3.把上面的几何条件转化为?与?关系4.化简，说明三.求曲线极坐标方程步骤：5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时，可转化为直角坐标方程求解.例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程简单？OxMθrρρ=rOxMθaρ·ρ=2asinθρ=2acosθρ＝rρ＝2asin θ(0≤θ≤π) ρ＝2acos θ 例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．OxMθaρ·OxMθaρ·ρ=2asin( )
=-2asinρ=2acos( )
=-2acos 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） C2.求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a,?/2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ(?0,?０)，半径为r。
?＝2 ?＝2acos ? ?＝2asin ? ?2+ ?0 2 -2 ? ?0 cos( ?- ?０)= r2你可以用极坐标方程直接来求吗？A、双曲线 B、椭圆
C、抛物线 D、圆D法一：法二：C
4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程
可认为是圆的一般式方程.1.曲线的极坐标方程概念
2.怎样求曲线的极坐标方程
3.圆的极坐标方程再 见敬请指导课件26张PPT。1.3.2 直线的极坐标方程 本节课在学习极坐标系中求曲线方程的基本步骤和圆的极坐标方程的基础上学习直线的极坐标方程，直线在平面解析几何中是最基础的曲线方程，在极坐标方程的地位也是相当的重要，教学过程中让学生体会直线在极坐标系中的方程的不同和对其限制，以及不同位置的直线的极坐标方程的求法和方程的表示，感受课本的递进研究方法。
在极坐标和平面直角坐标的转化过程中可以顺便复习在平面直角坐标系中直线的五种表示形式及运用。1.会在极坐标系中求出任意直线的方程。
2.理解直线的极坐标方程的推导过程。
3.感受课本在研究时的层层推进的思想。在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；
2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点；
3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
5、检验并确定所得方程即为所求。思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点作射线OM的反向延长线ON，则射线ON的极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？ 射线OM： ； 射线ON： ；和思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是什么？或可以考虑允许极径可以取全体实数。思考3：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 解：如图，设点为直线 上异于P的点.连接OM，在 中有 即显然P点也满足上方程。过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是什么？当a＞0时，ρcosθ＝a； 当a＜0时，ρcosθ＝－a.求直线的极坐标方程步骤1、根据题意画出草图；2、设点 是直线上任意一点；3、连接 MO；4、根据几何条件建立关于 的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。 例1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其极径可以取任意的非负数。
故所求直线的极坐标方程为1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。例2.求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM.
在 中有 即可以验证，点A的坐标也满足上式。1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐标方程：3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：几种特殊的直线的极坐标方程：例4：设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 解：如图，设点 为直线上除点P外的任意一点，
连接OM.
则 ,由点P的极坐标知 设直线L与极轴交于点A。则在由正弦定理得显然点P的坐标也是它的解。1.两条直线 与 的位置关系是（ ）BA、平行 B、垂直
C、重合 D、平行或重合2.在极坐标系中，与圆 相切的一条直线的方程是（ ）BA、两条相交的直线B、两条射线C、一条直线D、一条射线AB
( )B1、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度(1)当直线l过极点，从极轴到l的角是α，则l的方程为： ．
(2)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为 .
(3)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且从极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为： ．
θ＝α(ρ∈R)ρcos θ＝aρ sin (θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)4.直线的极坐标方程再 见敬请指导.
