课件17张PPT。第一讲 不等式和绝对 值不等式 1.1.1 不等式的基本性质 (第1课时) 本节课内容相对较简单，先从实数的意义引入作差比较法的原理，再进一步通过例题和变式讲解作差比较法的应用，再进一步通过例题讲解作商比较法。
在讲课的过程中，让学生认识到知识的价值在于运用，通过例题让学生熟练掌握作差比较法，不同形式的不等式的证明要依据自身的结构特点采取不同的变形方式。人别学生在证明过程中可能会采用其他的证明方式，如分析法、综合法、甚至可能采用比例的性质对不等式加以证明，此时，应对学生予以肯定，但不展开讲。实数在数轴上的性质:
研究不等式的出发点是实数的大小关系。数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ｘ 如果a>b,那么a-b是正数;
如果a=b,那么a-b等于零;
如果a
当点A在点B的左边时,a当点A在点B的右边时,a>b. 上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要依据。用数学式子表示为: 从上述事实出发，你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小.解： (2x4+1) - (2x3+x2 )
= 2x4+1 - 2x3 _ x2
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
= (x－1) [2x3 - (x +1) ]
= (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)]
= (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
∵x∈R ，∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0，
若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 ；
若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 .
综上所述: 若 x = 1 时， 2x4+1 = 2x3+x2 ；
若 x≠ 1 时 ，2x4+1 > 2x3+x2 .
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．①步骤是：作差—变形—判断符号—下结论．
②常见的变形手段是通分、分组组合、因式分
解、添项、拆项、或配方等；
③变形的结果是常数、若干个因式的积或完全
平方式等. 用作差比较法比较两个实数的大小例2、比较以下两个实数的大小：请同学们来总结下做商比较法！
2、选择题：
已知 ，在以下4个不等式中正确的是：
（1） （2）
（3） （4）
1、基本理论:
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
a - b < 0 <=> a < b
2、基本理论四大应用之一：比较实数的大小.
一般步骤：作差－变形－判断符号－下结论。
变形是关键：
1°变形常用方法:配方法，因式分解法。
2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几
个平方和；几个因式的积。
1．比较 的大小．2．如果 ,比较 的大小．一、课本 P10 2二、补充谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件17张PPT。1.1.1 不等式的基本性质
(第二课时) 不等式的基本性质是职中数学的主要内容之一，在数学中占着重要地位。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容，起到重要的奠基作用。
防止学生想当然的得到一些不等式的公式，详讲例一和例二，要求每一步都要有依据。虽然同向正数不等式可以相乘，但在例三的（2）中我们要注意，x与-x相互有影响，容易错解。练习中2个题目也是常见题型，而且在其他的区域也运用的较为广泛，请老师注意!2、比较两个实数大小的主要方法:(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；(2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小． 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？不等式的基本性质单向性双向性 上述结论是用类比的方法得到的，它们一定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？以性质（3）为例给出证明：同学们：你们有办法证明其他的性质吗？1、注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”;
2、要会用自然语言描述上述基本性质；
3、上述基本性质是我们处理不等式问题的理论基础。例2、已知a>b>0,c（2）x(1-x)同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运算,但此题要注意x和1-x相互有影响，常常会出错误。 2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值
范围．P10 1 、 3 、 4作 业谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件21张PPT。1.2.1 基本不等式 本节课从ICM 2002的会徽引入基本不等式，也就是均值不等式，从基本不等式的证明到基本不等式的应用.
这节课主要讲了两个方面，一、关于基本不等式的证明；二、利用基本不等式求最值，利用适当的例题和变式加以巩固。
在本节课讲解过程中，应该兼顾基本不等式应用的三个要素方面“一正，二定，三相等”，重点使用均值不等式，对式子进行变形、代换、配凑等。让学生理解基本不等式的意义与应用。同学们，你们知道ICM 2002吗？知道会徽的由来吗？这个定理的证明很简单：如果 是正数，那么 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称 为ａ、ｂ
的算术平均数， 称为ａ、ｂ的几何平均数。 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数O当且仅当 中的“ = ”号成立． 时，这句话的含义是:成立的条件相同吗？ 和如：成立，不成立而例1 求证：基本不等式的相关证明∴ 即：∴利用基本不等式求最值 1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
2、用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值
是 _______,此时x=___,y= _____201010242解:4、已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值． 利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:
一正；二定；三相等。
有一个条件达不到就不能取得最值.谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件24张PPT。1.2.2 基本不等式的
应用一、不等式定理及其重要变形：（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式） 如果把 看做是两正数a、b的等差中项, 看做是两正数a、b 的等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.二、代数意义：三、几何意义： 均值不等式的几何解释是:
半径不小于半弦. 结构特点： 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 运用该不等式可作和与积之间的不等变换.ab四、公式的拓展当且仅当a=b时“=”成立公式的应用（一）—证明不等式∴公式的应用（二）—求函数的最值一正、二定、三相等和定积最大
积定和最小创造条件注意取等号的条件利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件配凑成和成定值即 的最小值为错因：
过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。解：正解：当且仅当即:时取“=”号即此时“1”代换法 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容。4.阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。错题辨析正解：当且仅当即:时取“=”号即此时公式应用（三）—解决实际问题5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？6.某种商品准备两次提价, 有三种方案:
第一次提价 m％, 第二次提价 n％ ;
第一次提价 n％, 第二次提价 m％ ;
两次均提价 ％.
试问哪种方案提价后的价格高?解：设原价为M元, 令a = m％, b = n％, 则按三
种方案提价后的价格分别为:A. (1+a)·(1+b)·M =(1+a+b+ab)·MC. (1+ )2 ·M =[1+a+b+ ]·M只需比较 ab 与 的大小.易知B. (1+b)·(1+a)·M =(1+a+b+ab)·M实际问题抽象概括引入变量数学模型数学模型的解实际问题的解还原
说明解应用题思路1、设 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。 2、设 则 的最大值为_____。３、设 满足 ，且
则的最大值是（ ）A、40 B、10 C、4 D、2Ｄ （１）各项或各因式为正
（２）和或积为定值
（３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将 “积式”转化为“和式”的放缩功能；设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；１、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件18张PPT。1.3 三个正数的算术---几何平均数 本节课有基本不等式引入三个正数的算术—几何平均数，再进行定理的推导和推广，尤其定理3的几种变样形式。再通过例题巩固，巩固过程中确定定理应用的条件。
定理的推导和推广略讲，几种变式详讲。在配凑使得“和”或“积”是定值时，又会忘记取等号的条件，所以以大量的例题和练习反复强调“一正、二定、三相等”，在不能取得等号的时候可以考虑函数的单调性。1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件： 注意：1．这个定理适用的范围： 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件:
一正;二定;三相等.
有一个条件达不到就不能取得最值.基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的
几何平均。推论:关于“平均数”的概念： 叫做这n个正数的算术平均数。叫做这n个正数的几何平均数。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．例２:解:构造三个数相加等于定值.解:构造三个数相加等于定值.例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为则其容积为 :解:(错解:原因是取不到等号)正解:谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件25张PPT。2.1绝对值三角不等式
本节课从复习绝对值的代数意义和几何意义导入，引入绝对值三角不等式，在讲述绝对值三角不等式的过程中，采用边探究边论证的方式，让学生在形成过程中理解并记忆绝对值三角不等式。再借助例题加以巩固，例题的选取具有层次性，尤其到最后的例题具有一定的难度。
在理解绝对值三角不等式的过程中，即从几何意义理解公式，也从代数角度论证公式，绝对值是高中阶段的一个重要概念，绝对值三角不等式也非常重要，所以在讲解的过程中重点是理解公式并通过例题巩固。通过例题和练习题注意式子的变形和等号的成立条件，在例题中还补充了思考题让学生分析如何处理含有绝对值的问题|a|=几何意义:表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.|a-b|=几何意义：表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度绝对值的几何意义类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？ab>0ab<0(1)当ab>0时,a+ba+ba>0,b>0a<0,b<0由图可得: |a+b|=|a|+|b|(2)当ab<0时a+ba+ba>0,b<0a<0,b>0|a+b|<|a|+|b||a+b|<|a|+|b|(3)如果ab=0,则a=0或b=0易得: |a+b|=|a|+|b|综上所述,可得:如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ,能得出什么结果?在不等式|a+b|?|a|+|b|中,当向量 不共线时,则由向量加法的三角形法则,用向量 分别替换实数a,b,向量 构成三角形,故可得向量形式的不等式:|a+b|<|a|+|b|故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.绝对值三角不等式定理1的几何意义证明:当ab?0时,ab=|ab||a+b|当ab<0时,ab=-|ab|,|a+b|故|a+b|?|a|+|b|，当且仅当ab?0时,等号成立.同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系?如:如果a,b是实数,则|a|-|b|?|a-b|?|a|+|b|再如:如果a,b,c是实数,则|a-c|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.定理2: 如果a,b,c是实数,则|a-c|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.分析:由于a-c, a-b与b-c都是实数,且
a-c=(a-b)+(b-c)证明:根据定理1,有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)|?|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)?0时,等号成立.则可使用定理1的结论进行证明.在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,(1)当点B在点A,C之时,
|a-c|=|a-b|+|b-c|(2)当点B在点A,C之外时,
|a-c|<|a-b|+|b-c|定理2的几何意义证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|?|2(x-a)|+|3(y- b)|=2|x-a|+3|y-b|<2?+3?=5?故 |2x+3y-2a-3b|<5? 证明：例4 求证 . 证明：在 时，显然成立.当 时，左边 例5:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题:当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:设生活区应该建于公路路碑的第xkm处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|?|(x-10)+(20-x)|=10当且仅当(x-10)(20-x)?0时取等号.又解不等式: (x-10)(20-x)?0 得:10?x?20故当10?x?20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，思考题：P20:
1,2,3,4,作 业谢谢聆听THANK YOU FOR YOUR课件24张PPT。2.2 绝对值不等式的解法 先利用绝对值的几何意义得型如|f(x)|a(a>0) 不等式的解法，进一步讨论|f(x)|g(x)的解法，对于含两个或以上的绝对值不等式的解法必须掌握讨论取消绝对值符号的方法。
在本节课的讲解过程中重点渗透几种解决绝对值不等式的方法（1）绝对值的几何意义；（2）利用绝对值的代数意义去绝对值；（3）利用平方或其他方法去绝对值。形成学生对绝对值问题的解决的常规思路。1.绝对值的定义:2.几何意义: 一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离.观察、思考：不等式│x│<2的解集?方程│x│＝2的解集？{x│x=2或x=-2}{x│-2 < x < 2 }不等式│x│> 2解集?{x│x > 2或x<-2 }-aa-aa类比：|x|<3的解|x|>3 的解|x|<-2的解|x|>-2的解 |x|0)
|x|>a (a>0) -aa 或 x<-a如果a＞0，则 如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是
| x-1 |<2如何解？如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是| 3x-1|>2如何解？型如| f(x)|a (a>0) ,不等式的解法:例 1 解不等式 解：这个不等式等价于因此，不等式的解集是（–1，4）例 2 解不等式＞5解：这个不等式等价于或（1）（2）（1）的解集是（4,+∞），
（2）的解集是（－∞,－1），
∴ 原不等式的解集是(4,+∞)∪ (－∞,－1)。
求下列不等式的解集
|2x+1|<5
3|1-4x|>9
|4x|<-1
|x2-5x|>-6
3<| 2x+1 | <5（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）R（-3，-2）∪（1，2）
型如 | f(x)|a的不等式中
“a”用代数式替换，如何解？解(法一)对绝对值里面的代数式符号讨论：(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为5x-6<6-x，解得x<2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0
所以00时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x>0-(6-x)<5x-6<(6-x)综合得00是否可以去掉？ 例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x把下列绝对值不等式转化为同解的非绝对值不等式。3、| x-1 | > 2( x-3) 4、5、| 2x+1 |> | x+2 |1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4例：方法2：几何意义方法1：讨论去绝对值解不等式
解不等式：|x-1| > |x-3|方法一方法二方法三反思评价我们的解题方法：解：因为 |x-1| > |x-3|，
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2 ，
化简整理：x>2.平方法：注意两边都为非负数|a|>|b|依据：a2>b2法一：绝对值与平方的等价关系：解：如图，设“1”对A，“3”对应B，
“X”对应 M（不确定的），即为动点。
|x-1| > |3-x|由绝对值的几何意义可知 ：|x-1| =MA|x-3|=MB几何的意义 为MA>MB,法二：绝对值的几何意思：分类讨论：分析：两个|x-1| 、|x-3|要讨论，按照绝对值里面的代数式符号进行讨论。可以借助数轴分类。解:使|x-1|=0,|x-3|=0，未知数x的值为1和31、当x≧3时，原不等式可以去绝对值符号化为：x-1>x-3 解集为R，与前提取交集，所以x≧3；2、当1≦x<3时,同样的方法可以解得22法三：一、数学知识
常见的绝对值不等式的解法
二、数学思想（2）分类讨论的思想（3）整体的思想（1）转化的思想同学们再见！