课件32张PPT。第三章 空间向量与立体几何3.1.1 空间向量及其加减法本节课主要学习空间向量的概念，几何表示法和字母表示法，以及加减运算 .借助动画复习平面向量及其加减法，从生活中可以发现空间向量的存在，进行新课导入.运用类比的思想，类比平面向量及其加减法学习空间向量及其加减法 ．
例1是关于空间向量的表示 ；例2是利用空间向量的加减法及线性表示求参数 ；例3是证明向量等式的。
在讲解本节的时候一定注意和平面向量对比学习，最好这节课是在老师铺设背景，用过探究的形势完成.已知F1=2000N,F2=2000N,F3=2000N,这三个力两两之间的夹角都为60度,它们的合力的大小为多少N?这需要进一步来认识空间中的向量……平面中存在向量,空间中是否也有向量?看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.你能怎样确定高压线塔上的人的位置呢？疯狂妇女坐高压线塔上http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=55e3ae84af508f0099b1c9b4复习 1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus). 概念2. 空间向量的表示 3. 相反向量
与向量 长度相等而方向相反的向量,
称为 的相反向量，记为 – .
4. 相等向量（equal vector）
方向相同且模相等的向量称为相等向量.提升总结:（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）.（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小.（1）空间的一个平移就是一个向量.
（2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 .
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示. 结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法: OB=OA+AB=a+b，
减法：CA=OA-OC=a-b. 你能证明下列性质吗？证明加法交换律:请同学们来证明一下加法结合律. (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
(2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.
(3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.3.对空间向量的加减法的说明空间向量加减运算的推广（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。做一做、想一想例1典例展示解： 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量.例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。ABCDDCBA在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列各式中的x,y.E变式1:ABCDDCBAE在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下列各式中的x,y.(1)X=1变式1:ABCDDCBAE在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.解：变式1:一、回顾本节课你有什么收获？1.空间向量的概念.
在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.
空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则.3.空间向量的加法符合交换律，结合律.
4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 字母表示法 向量的大小平面向量空间向量具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法字母表示法 向量的大小二、空间向量的基本概念平面向量空间向量 长度为零的向量 长度为零的向量模为1的向量模为1的向量长度相等且方向
相反的向量长度相等且方向
相反的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律加法结合律三、空间向量的加法、减法运算课件25张PPT。3.1.2 空间向量的数乘运算第三章 空间向量与立体几何本节课主要学习空间向量的数乘运算；共线向量定理及推论；共面向量定理及推论.本课以复习空间向量加法、减法的运算法则、几何意义、运算率及平面向量的数乘运算进行新课导入，学习空间向量的数乘运算.
运用类比的思想，类比平面向量的数乘运算学习空间向量的数乘运算．培养类比联想的探究意识和能力，二维到三维，平面到空间，思维拓展.例1和例2都是关于共面向量定理的应用。例1是寻找四点共面的条件，例2是证明四点共面。加法交换律加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间. 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?结论：（1）空间中任意两个向量都是共面向量；
（2）涉及空间中任意两个向量问题，平面向量中的有关结论仍适用它们。例如:空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与 空间向量 的乘积
仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.
（1）当 时， 与 的方向相同.
（2）当 时， 与 的方向相同.
（3）当 时， 是零向量.
的长度是 的长度的 倍. 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或
重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. 若P为A,B中点, 则如图，为经过已知点A且平行与已知非零向量
的直线，对空间任意一点O，点P在直线 上的充
要条件是存在实数t，使得 ，其中向量
叫做直线 的方向向量.①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.
由此可判断空间任意三点是否共线.lABPO 共面向量共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.那么什么情况下三个向量共面呢？由平面向量基本定理知，如果 ，
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量 ，有且
只有一对实数 ， 使 得证.⑵必要性※判定空间中三点A、B、C共线的常用方法：（1）只需得到存在实数 ，使（2）对空间任意点O，存在实数t,使特别地，当t=1/2时，此时，点C恰为线段AB的中点例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有 则
x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的 （ ）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件C典例展示 OBAHGFECD证明1．下列命题中正确的个数是( )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3 D．0DC3.下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线D4.下列说法正确的是（ ） A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
D.空间的任意三个向量都共面C共面1.空间向量的数乘运算. 2.共线向量的概念.
3.直线l的方向向量. 4.共面向量的概念.THANK YOU!课件20张PPT。3.1.3 空间向量的数量积运算第三章 空间向量与立体几何本节课主要学习空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质及运算律 .利用物理学中的功的计算方法导入新课。本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积及性质的基础上探究空间向量数量积运算的定义、性质、运算律. 通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；同时探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.
在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.例1的实质是著名的三垂线定理，在以后的解题中有着广泛的应用；例2是利用空间向量的数量积运算证明直线与平面垂直的判定定理。W= |F| |s| cos? 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.复习判定空间中三点A、B、C共线的常用方法4两空间向量的夹角： 如图，已知两个非零向量 ，在空降任取一点O，
作 ，则 叫做向量 的夹角，
记作：注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.两个向量的数量积A1B1BA注：性质①是证明两向量垂直的依据；
性质②是求向量的长度（模）的依据.空间两个向量的数量积的性质注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.空间向量的数量积满足的运算律例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！典例展示证明：求证：在直线l上取向量 ,只要证逆命题成立吗?同学们：你们能不能证明三垂线定理的逆定理吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
则△BCD是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不确定C分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.mn取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝__________，a2＝__________，b2＝__________，(a＋2b)·(a－b)＝__________.[答案] 45°
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直.
2.求两点之间的距离或线段长度.
3.证明线面垂直.
4.求两直线所成角的余弦值等.
课件20张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示第三章 空间向量与立体几何本节课主要学习空间向量的正交分解及其坐标表示.运用类比的思想，类比平面向量的正交分解及其坐标表示学习空间向量的正交分解及其坐标表示，新课导入自然而流畅。以学生探究为主，运用动画演示平面向量基本定理和空间向量基本定理。
例1考查空间向量基底的概念；例2是空间向量基本定理的应用。通过视频展示空间向量的正交分解及其坐标表示，使空间向量基本定理加以巩固和拓展。共线向量定理:共面向量定理:http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=541be7e55aa8dafbc5fb22fd用动画分别演示平面向量和空间向量的分解平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示都叫做基向量叫做空间的一个基底空间向量基本定理思考:基底应注意什么呢?1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底2.三个基向量每一个都不能为零向量3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量 空间直角坐标系空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkPP′P例1 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组
② ③ ④
,其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断设 ,易判断出答案C典例展示利用向量加减法则，用基底表示未知向量． B1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求. 课件23张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示第三章 空间向量与立体几何本节课主要学习空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示.本课件以复习平面向量运算的坐标表示入手，提出了新问题：空间向量运算的坐标表示，引入新课。以学生自我探究为主，运用类比的思想学习空间向量运算的坐标表示，教会学生准确的建立坐标系，用空间向量坐标解决空间几何的线面关系.通过用空间向量解决简单的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题, 培养学生的观察能力和探索能力,总结一般性方法.提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.
通过平面向量运算的有关方法,引出空间向量的运算,进一步体会“二维”与“三维”的关系.如何建立坐标系,求解坐标才更简单.例1是空间向量的坐标运算；例2是利用空间向量求角；例3求角，例4是证明两条直线的垂直。复习平面向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?类比是我们探究规律的重要方法 向量的直角坐标运算1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。距离与夹角在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向；
（2）当 时， 反向；
（3）当 时， 。思考：当 及
时，夹角在什么范围内？例1．解:典例展示例2 已知 、 ，求：
（1）线段 的中点坐标和长度； 解：设 是 的中点，则∴点 的坐标是 . （2）到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。解：点 到 的距离相等，则化简整理，得即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是OAA’BB’O’变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。
|AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图建立直角坐标系，则D解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系 ，则 例3 如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值. 1.已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则：
(1)a·(b＋c)＝__________；
(2)(a＋2b)·(a－2b)＝__________.[答案] 9 －382.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k＝__________.今天你学到了什么呢？1.基本知识：（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示。 2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题 (1) 建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。课件29张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (1)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与平行、垂直的关系 本节课主要学习由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面等的平行、垂直关系 ．通过复习空间向量的共线、共面定理进行新课导入。学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法
例1与例2是关于平面的法向量问题；例3是证明两个平面平行问题；例4是证明两条直线平行问题；例5是证明直线与平面的平行问题，运用了一题多解，培养学生的思维的广阔性。因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系．研究 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)引入2、思考
1.如何确定一个点在空间的位置？
2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？AP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量 方向向量与法向量2、平面的法向量?l平面 α的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
直线OA的一个方向向量坐标为___________
平面OABC 的一个法向量坐标为___________
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示变式1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.ABCDPE解：如图所示建立空间直角坐标系.设平面EDB的法向量为 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题ml（一）平行关系：证明平行与垂直（二）、垂直关系lmlABCαβ已知 直线l与m相交, 例3.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行,则这两个平面平行 例4 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点， 求证：PA//平面EDB.ABCDPE解1 立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG在 中，E，G分别为PC，AC的中点ABCDPE解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPE解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：设平面EDB的法向量为 证明： 设正方体棱长为1， 为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以,E是AA1中点， 例6 正方体平面C1BD. 证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD. 平面EBD1.如图所示, 正方体的棱长为1
直线OA的一个方向向量坐标为___________.
平面OABC 的一个法向量坐标为___________.
平面AB1C 的一个法向量坐标为___________.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)BB 1．如何认识直线的方向向量？
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取点A和 ， 可以作为l的方向向量，借助点A和 即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．2．如何理解平面的法向量？
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．平行与向量方法（1）直线与直线平行（2）直线与平面平行（3）直线与平面平行课件25张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (2)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与空间距离本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 接着探讨点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距离的求法. 例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大小问题，而实质还是求两点间的距离问题.
例3是求点面距离，需要建立恰当的坐标系，利用向量法解决.运用转化思想，将面面距离转化为点面距离、点面距离转化为点点距离，运用运动变化思想探究.alaABB1A1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题） 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 或
(其中 )，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题.
点到直线的距离点P与直线l的距离为d , 则 设E为平面α外一点,F为α内任意一
点, 为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:点到平面的距离 a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为异面直线间的距离 平面与平面的距离问题A，P分别是平面a与b上任意一点，平面a与b的距离为d , 则mDCPA 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。典例展示（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:分析:∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）H 分析：面面距离回归图形点面距离向量的模解：∴ 所求的距离是如图所示，在120°的二面角α -AB-β中，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解：取CD的中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 例2.分析:1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.ABCC1EA1B1ABCC1取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B1二、利用向量求距离1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的
向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断
方向，可取其射影的绝对值）.
2.点到直线的距离：求出垂线段的向量的模.
3.直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离.一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。面面距离回归图形点面距离向量的模4.平行与平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.
5.异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离.也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模.课件33张PPT。3.2 立体几何中的向量法 (3)第三章 空间向量与立体几何——空间向量与空间角本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等. 讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。
通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54260de45aa8a9cc1dd7292f动画展示面与面的夹角 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题.用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题.
2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题.
3.（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义..异面直线所成的角lmlm若两直线 所成的角为 , 则线面角ll 二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角二面角的范围： 例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算典例展示所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB.
(2)求证：PB⊥平面EFD.ABCDPEF(3)求二面角C-PB-D的大小.ABCDPEF解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1.(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.(3)(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．
例3.分析：建系→求相关点坐标→求相关向量坐标→向量运算→结论．解 作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，
AAD 面面距离回归图形点面距离向量的模二面角平面角向量的夹角回归图形二、利用向量求空间角一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
