2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高一上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高一上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，则命题的否定为( )
A. B.
C. D.
3.已知全集，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.设集合，若，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若，是任意实数，且，则( )
A. B. C. D.
7.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知集合，，，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数，则 ．
12.设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ．
13.满足的集合的个数为 个
14.已知集合若，则 ．
15.函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ，不等式的解集是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，集合．
化简集合并求，．
若全集，求．
17.本小题分
完成如下三个小题并写出必要过程
设，，比较的大小．
已知，求证：；
已知，设；，比较与的大小．
18.本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
函数
若，求的解集；
当恒成立时，求的取值范围；
若方程有两个实数根，且，求的取值范围
20.本小题分
设一个矩形长为，宽为．
当点位于直线上时，求该矩形面积的最大值．
当点位于曲线上时，求该矩形周长的最小值．
当该矩形的面积比周长多时，求该矩形面积的取值范围．
21.本小题分
设集合定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
若，求集合；
若，求的所有可能的值组成的集合；
若，求证：．
参考答案
1.
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14.
15.
16.，
，．
或，
．

17.因为，
．
因为，所以，由同向不等式的可加性可得．
因为，，，所以，
所以．

18.，，
，．
，
当时，，．
当时，．
综上所述，或．

19.当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为．
当时，恒成立；
当时，恒成立，则有，解得，
当时，显然不恒成立．
综上，的取值范围是．
有两个实数根，所以，，解得或，，
因为，所以，
解得或，
综上可得或．

20.该矩形面积为，，
故当时，取得最大值，最大值为；
该矩形周长，
因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故该矩形周长的最小值为；
由题意得，即，
因为，由基本不等式得，故，
即，解得或舍去，
故，
该矩形面积的取值范围为．

21.解：由，则，
．
当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的，，满足，
并且，，下列有四种可能：
一是，，，则
二是与，与，与三对数有两对相等，另一对不相等，
三是与，与，与三对数有一对相等，其它两对不相等，
四是与，与，与三对数全不相等，则．
综上述，的所有可能的值组成的集合为．
当，不妨记集合为，且让，
则必有，
和中剩下的元素为，满足，
所以有两种可能：
当，当，
当，不妨记这个元素为，，，，，，且让，
则必有，所以
当，，
不妨记，，，，，
则，则必有，
积中剩下的，，满足，则，
下面先证明
假设，由，
则，，，
即，，，所以，
令，由，则，
所以，则，与事实不符，所以，
下面再证明
由上述分析知：要使，积中剩下的，，满足，
必有两对积与，，，，，，七对中的两对相等，
有如下五种情况：
一是，则可推得，令其比值为，则，于是，，
由，则，则，显然无解，故此情况不可能
二是，则可推得，，令，，显然，
由，则，所以，
而显然，故此情况不可能
三是，则可推得，令其比值为，则，由，
又，则，这与矛盾，故此情况不可能
四是，可推得，令其比值为，则，
于是，，，，
于是由，
则，所以，
所以，推得，所以，
所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不可能
五是，可推得，令其比值为，则，于是，，
由，则，
则，显然无解，故此情况不可能所以
综上，所以
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