2024-2025学年黑龙江省黑河市嫩江高级中学高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省黑河市嫩江高级中学高一（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.已知集合，，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.若不等式的解集为，则函数的图象可以为( )
A. B.
C. D.
6.某班有学生人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有人已知该班学生每人至少参加了个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是( )
A. B. C. D.
7.已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
8.设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 至少有一个实数，使
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“，”的否定是假命题
D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件
10.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则且
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为，或
D. 若为常数，且，则的最小值为
11.已知，为正实数，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围是______．
13.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，；给出下列四个结论：
；
；
；
“整数，属于同一类”的充要条件是“”．
其中正确的结论是 ．
14.已知：；；：关于的不等式，若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合、集合．
若，求实数的取值范围；
设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：，，命题：，．
若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，．
当时，，求的最小值；
当时，，求关于的不等式的解集．
18.本小题分
某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米元，设体育馆前墙长为米．
当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
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15.解：由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
当时，
可得，解得，
当时，由可得．
综上所述，实数的取值范围为
16.解：当命题为真时有：，解得；
当命题为真时有：，解得：，
又命题和命题有且只有一个为假命题，
当真时，为假，即真真，所以，无解；
当假时，为真，即假假，所以，得．
综上所述，实数的取值范围为：；
由可知当假假时，．
所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为：．
17.解：因为时，，可得，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时取等号，即当且仅当，时取得最小值为．
因为当时，，可得，
则，
因为，所以，则解不等式可得或，
则不等式的解集为或．
18.解：因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元；
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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