2024-2025学年黑龙江省高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
5.若，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为正实数，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，为正实数，，则下列选项正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“集”，则下列选项正确的是( )
A. 集合是“集”
B. 若是“集”，则，至少有一个大于
C. 二元“集”有有限个
D. 若为正整数，则“集”有且只有一个，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.已知，，则的取值范围是______．
14.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
比较下列各组，的大小．
，，，；
．
16.本小题分
已知集合，，．
求；
若满足，求实数的取值范围．
17.本小题分
哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为，器材室正面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元墙高为，且不计器材室背面和地面的费用．
列出总造价与器材室正面长度的关系式；
器材室正面长度为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价．
18.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
设，记不大于的最大整数为，如：，．
若，求；
已知，试求；
已知，，且，记，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.解：根据题意，，
又由，，则，，则有，
故，
根据题意，，
故．
16.解：根据题意，集合，
而，解可得，
则，，，
故A，；
根据题意，若，则，
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
此时有，
又由，解可得，
综合可得：，即的取值范围为．
17.解：由题意可知正面长度为，由占地面积为，则侧面长度为，
可得；
令，根据基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即，
，
所以器材室正面长度时能使总造价最低，最低总造价为元．
18.解：若，则，显然不符合题意；
所以，要满足题意需，
整理得，
解之得，
即的取值范围为；
原不等式等价于，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得或，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．
19.解：，，
故，从而；
设，若，下面证明：
若，
则有
，
所以，这就得到：
，
故；
若，则由，知，
从而有，
，
这就得到，且根据上面的证明过程，两个不等号取等的充要条件分别是和，
而由，知两个等号不能同时取到，
故，
综上，有，所以单调递增．
而我们有：
，
，
所以是方程的唯一的实数根，且，
从而，得；
先证明一个引理：对任意的，，有．
证明：我们有
，
以及
．
引理证毕．回到原题，
设，，，则，，，，，
所以；
及
，
故，从而．
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