2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是平行四边形的两个内角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.若函数在其定义域内是一个单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积是底面积的倍，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.心理学家有时用函数测定在时间单位：内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数．已知该生在内能够记忆个单词，则的值约为
A. B. C. D.
8.如图，是锐角三角形的外心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是虚数单位，则下列命题中正确的是( )
A. B. 在复平面上对应点在第二象限
C. D. 的虚部为
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于对称
C. 的图象关于对称 D. 在上单调递减
11.如图，在直三棱柱中，，分别是棱，上的动点，，，则下列说法正确的是( )
A. 直三棱柱的体积为
B. 直三棱柱外接球的表面积为
C. 若，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D. 取得最小值时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知，在上的投影向量为，则的值为______．
14.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点，测得塔顶的仰角为，由向塔前进米后到点，测得塔顶的仰角为，再由向塔前进米后到点后，测得塔顶的仰角为，则塔高为______米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
设的夹角为，求的值；
若向量与互相垂直，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点．
证明：平面；
证明：平面．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别是，，，．
求角；
若外接圆的直径为，求周长的取值范围．
18.本小题分
已知向量．
若，求；
记，若对于任意恒成立，求的最小值．
19.本小题分
设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个二元函数，记作，，其中称为二元函数的定义域因为平面向量与有序实数对有一一对应的关系，设，则二元函数也可以记为．
已知，若，求；
非零向量，若对任意的，，，记，都有，则称在上沿方向单调递增已知，，请问在，上沿向量方向单调递增吗？为什么？
设二元函数的定义域为，如果存在实数满足：
，都有，
，使得．
那么，我们称是二元函数的最小值求的最大值．
参考答案
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15.解：因为，
所以；
的夹角为，
则；
向量与互相垂直，
则，
又，，
则，
解得．
16.证明：连接和，
底面为平行四边形且为的中点，
经过点，
在中，为的中点，为的中点，
所以为的中位线，
故，
，平面，平面，
由直线和平面平行的判定定理知平面．
平面，且平面，
，
且，
，
，
，
平面，平面，且，
由直线和平面垂直的判定定理知平面．
17.解：因为，，，，
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理得，
又因为，所以；
方法一：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时，等号成立，
所以，故周长的取值范围为；
方法二：因为外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
，
因为，可得，所以，
所以，故周长的取值范围为．
18.解：已知向量，
因为，
所以，
所以．
，
因为，
所以，
所以．
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值，
因为恒成立，
且，
所以，
故的最小值为．
19.解：由已知有，
则；
，
，
又，
，
故在，上沿向量方向单调递增；
由题意可类似的知道的最大值的含义，
，其中，
或者直接使用柯西不等式，
，当且仅当时取等号．
故，当时取等号，或当时取等号，
又，
根据对勾函数单调性易知当或时，函数取最大值为．
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