2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年天津市经开一中强基班高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线：的倾斜角为，则实数值为( )
A. B. C. D.
2.直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知点，，，则外接圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知在四面体中，，为的中点，若，则( )
A. B.
C. D.
5.如图，空间四边形的每条边和对角线的长都等于，、、分别是、、的中点，则( )
A. B.
C. D.
6.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
8.过直线上的点作圆：的切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知曲线关于直线对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于( )
A. B. C. D.
12.正四面体棱长为，，且，以为球心且半径为的球面上有两点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
13.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
14.如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，设，则( )
A.
B.
C.
D.
15.已知直线：，为坐标原点，则( )
A. 直线的倾斜角为
B. 过且与直线平行的直线方程为
C. 过点且与直线垂直的直线方程为
D. 若到直线的距离为，则
16.已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有( )
A. 圆上恰有两个点到直线的距离为
B. 切线长的最小值为
C. 当四边形面积最小时，直线方程为
D. 直线恒过定点
三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
17.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
18.已知为坐标原点，点在圆：上运动，则线段的中点的轨迹方程为______．
19.已知向量，，则在上的投影向量为______．
20.如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 ______．
21.如图，在四面体中，，，，用向量表示，则 ______若，且平面，则实数 ______．
22.曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为，，．
求直线的方程；
求边上高所在的直线方程．
24.本小题分
求满足下列条件的曲线方程．
求过点且与圆：相切的直线方程；
求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
25.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
26.本小题分
如图：在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求直线与直线所成角的余弦值；
求直线与平面夹角的正弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由．
参考答案
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17.或
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19.
20.或
21.，
22.
23.解：因为，．
所以直线的方程：
整理得；
因为边上高为，所以的斜率为，
又，所以的方程为，
整理得所求方程：．
24.解：设方程为，圆，圆心坐标是，半径，
由直线与圆相切可得，，
，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为也满足题意，
综上可得，所求的切线方程为和．
由已知设圆心为，与轴相切则．
圆心到直线的距离，弦长为，得：，解得．
圆心为或，，
所求圆的方程为或．
25.解：Ⅰ证明：以为坐标原点，所成直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，，
，，，
，，，，
，平面．
Ⅱ设平面的法向量，由Ⅰ知，
设平面的法向量，
，，
，设，得，
，
二面角夹角的余弦值为．
Ⅲ，，，平面的法向量得，
点到平面的距离．
26.解：证明：取中点，连接、，
、分别为、，，且，
与平行且相等，为中点，与平行且相等，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
直三棱柱，平面又、平面，
、，
，即，
、、两两垂直，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，，
，，，
设直线与直线所成角为，所以；
设平面的法向量为，
结合知：，，
则，令，得，
，，
设直线与平面夹角为，
则；
设，，
，
，
，
由知平面的法向量为，
点到平面的距离为，
解得，又，
．
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