2024-2025学年江苏省扬州树人高级中学高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州树人高级中学高二（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.两条平行直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.设直线：，：，则是的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
6.若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知直线：上存在点，使得过点可作两条直线与圆：分别切于点，，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知，点为直线上的一点，点为圆上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是( )
A. 每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B. 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C. 方程与方程表示同一条直线
D. 直线过点，倾斜角为，则其方程为
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围为
B. “”是“点到直线距离为”的充要条件
C. 直线：恒过定点
D. 直线：与直线：垂直，且与圆相交
11.设动直线：交圆：于，两点点为圆心，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点 B. 当取得最大值时，
C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线被圆截得的弦长为______．
13.若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围是
14.过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，分别求的取值范围，使得：
；
．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知四点，，，．
求过，，三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系；
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
17.本小题分
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，
求点的轨迹方程；
记中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于，两点，曲线的中心记为点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
18.本小题分
已知直线方程为，其中．
求直线恒过定点的坐标．当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；
若直线分别与轴、轴的负半轴交于，两点，求面积的最小值及此时的直线方程．
19.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且圆经过点，．
求圆的方程；
已知点为圆与轴正半轴的交点，直线交圆于，两点点，异于点，若直线，的斜率之积为，直线是否过定点？如果过定点，请求出该定点坐标；如果不过，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为直线：，：，且，
所以，即，解得．
综上所述，当时，．
因为直线：，：，且，
所以，解得，即时，．
16.解：设圆方程为，
把，，三点坐标代入可得：，
解得，，，
所以圆方程是，
把点坐标代入可得：，故D在圆上；
由，得，
所以圆心，半径为，
因为弦长等于，所以圆心到直线距离为，
当直线的斜率不存在时，即方程为，圆心到直线距离为，满足题意，
若直线的斜率存在，设直线方程为，
圆心到直线的距离，解得，
所以过点的直线为或．
17.解：设，，
因为，且是线段的中点，
所以，
解得，，
即，
因为点在圆上运动，
所以点点坐标满足圆的方程，
即，
整理得，
则点的轨迹方程为；
过点定点的直线与曲线交于，两点，
此时直线的斜率一定存在且不为，
设直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，
因为，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值，最大值为，
此时，
解得或，
所以取得最大值，此时直线的方程为或．

18.解：直线方程为，
可化为对任意都成立，
所以，解得，
所以直线恒过定点，
设定点为，
当变化时，直线时，点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即，
此时直线过点且与垂直，
，解得，
故直线的方程为．
由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点，
，，解得．
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为，此时直线的方程为：，即：．
19.解：设圆心，由可得，
解得，圆的半径为，
因此，圆的方程为．
在圆的方程中，令，可得，解得，即点，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立，
可得．
，
整理可得，
由韦达定理可得，，
，，
由题意可得，
整理可得，
所以，
因为直线不过点，则，
所以，
整理可得，
此时，直线的方程可化为，
则直线过定点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，
联立，
解得
取点，，
所以，
解得，不合题意，舍去，
综上所述，直线恒过定点．
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