2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 137.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 05:38:02 | ||
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文档简介
2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，若，则实数( )
A. 或 B. 或 C. D.
3.设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4.已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则( )
A.
B.
C.
D.
6.直线的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B. 倾斜角为的直线的斜率为
C. 一条直线的倾斜角为，则其斜率为
D. 直线斜率的取值范围是
10.如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与所成的角为
C. 二面角的正切值是
D. 与底面所成角的正切值是
11.在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：
，，且，，三个向量构成右手系如图所示；
在正方体中，已知其表面积为，下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. 与共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为______．
13.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为______．
14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．
16.本小题分
如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：
平面；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点．
求证：平面平面；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，是的中点，．
证明：平面平面；
若是棱上的一点，从；二面角大小为；的体积为，这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形的对角线互相平分，；在直角边长为的等腰直角中，；在等腰直角中，，为的中点，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
解得，，
故，，
又因为，所以，即，解得，
故
由可得，，
设向量与所成的角为，
则
16.证明：取中点，连接，，则，，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
解：建立空间直角坐标系如图，因为，
所以，，，，，，．
设平面法向量为：，
则，，解得，，令，
则．
设与平面所成角为，则．
17.证明：在直角梯形中，由已知可得，，，，
可得，，
过作，垂足为，则，，求得，
则，．
面，，
又，平面，
平面，平面平面；
解：由知，，，则为二面角的平面角为，
则．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得
直线与平面所成角的正弦值为，．
18.证明：因为，是的中点，
所以，又因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
连接，又因为是边长为的等边三角形，
所以，由知平面，所以，，
两两互相垂直．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系．
设，则，，，，，
若选作为条件，证明成立．
因为，所以，易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，可取，
由二面角大小为可得，解得，
所以的体积为．
若选作为条件，证明成立．
因为的体积为，所以，解得，
又因为，所以，易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，可取，
所以，即二面角大小为．
若选作为条件，证明成立．
因为的体积为，所以，解得，即，
，不妨设，所以，
易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，
，解得舍，，
所以．
19.解：证明：四边形的对角线互相平分，，
为的中点，
又为的中点，
，
平面，平面，
平面；
在等腰直角中，又为的中点，
，
又，，平面，平面，
平面，
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
，，，
，，
，
，，，
，
，，，，
则，
设平面和平面的法向量分别为，
由，则可取，
由，则可取，
，
二面角的正弦值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，若，则实数( )
A. 或 B. 或 C. D.
3.设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4.已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则( )
A.
B.
C.
D.
6.直线的方向向量为，平面与的法向量分别为，，则下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.若，则直线的倾斜角的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
B. 倾斜角为的直线的斜率为
C. 一条直线的倾斜角为，则其斜率为
D. 直线斜率的取值范围是
10.如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与所成的角为
C. 二面角的正切值是
D. 与底面所成角的正切值是
11.在三维空间中，叫作向量与的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：
，，且，，三个向量构成右手系如图所示；
在正方体中，已知其表面积为，下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. 与共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为______．
13.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则的斜率的取值范围为______．
14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，，，，，求：
，，；
与所成角的余弦值．
16.本小题分
如图，已知平面，为矩形，，，分别为，的中点，求证：
平面；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点．
求证：平面平面；
若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，是的中点，．
证明：平面平面；
若是棱上的一点，从；二面角大小为；的体积为，这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形的对角线互相平分，；在直角边长为的等腰直角中，；在等腰直角中，，为的中点，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
解得，，
故，，
又因为，所以，即，解得，
故
由可得，，
设向量与所成的角为，
则
16.证明：取中点，连接，，则，，
又因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面；
解：建立空间直角坐标系如图，因为，
所以，，，，，，．
设平面法向量为：，
则，，解得，，令，
则．
设与平面所成角为，则．
17.证明：在直角梯形中，由已知可得，，，，
可得，，
过作，垂足为，则，，求得，
则，．
面，，
又，平面，
平面，平面平面；
解：由知，，，则为二面角的平面角为，
则．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得
直线与平面所成角的正弦值为，．
18.证明：因为，是的中点，
所以，又因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
连接，又因为是边长为的等边三角形，
所以，由知平面，所以，，
两两互相垂直．以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系．
设，则，，，，，
若选作为条件，证明成立．
因为，所以，易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，可取，
由二面角大小为可得，解得，
所以的体积为．
若选作为条件，证明成立．
因为的体积为，所以，解得，
又因为，所以，易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，可取，
所以，即二面角大小为．
若选作为条件，证明成立．
因为的体积为，所以，解得，即，
，不妨设，所以，
易知平面的法向量为，
，，
设是平面的法向量，
则，所以，
，解得舍，，
所以．
19.解：证明：四边形的对角线互相平分，，
为的中点，
又为的中点，
，
平面，平面，
平面；
在等腰直角中，又为的中点，
，
又，，平面，平面，
平面，
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
，，，
，，
，
，，，
，
，，，，
则，
设平面和平面的法向量分别为，
由，则可取，
由，则可取，
，
二面角的正弦值为．
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