2024-2025学年北京市西城区育才学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市西城区育才学校高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为( )
A. B. C. D.
5.若，，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
7.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，空间四边形中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为( )
A. B.
C. D.
9.已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方体中，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹为( )
A. 圆
B. 半圆
C. 直线
D. 线段
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知向量，则 ______．
12.已知点，，的中点坐标为______．
13.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是______．
14.正四棱锥所有棱长均为，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．
15.棱长为的正方体中，若点为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是______．
平面平面
四面体的体积是定值
可能是钝角三角形
直线与所成的角可能为
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在长方体中，，，点在上，且．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，已知直三棱柱中，若，，，为的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，为正三角形，，，，分别为棱，的中点．
如图，为棱的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点．
在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点的位置，如果不存在，请并说明理由；
若二面角的余弦值为时，求棱的长度，并求点到平面的距离．
参考答案
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15.
16.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，可得，
可得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ；
由可得：，
所以到平面的距离为
17.解：由题意，在直三棱柱中，，
则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，为的中点，
可得，，，，，
则，，
故，
即异面直线与所成角的余弦值为；
由知，，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，，
可得平面的一个法向量为，
不妨取平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
18.解：因为为正三角形，为中点，则，
又，，为棱的中点，
所以，又平面，
所以平面，由，平面，
故，，两两垂直，
所以以为坐标原点建立的空间直角坐标系合理；
证明：因为平面，平面，平面，
所以，，
又因为为等边三角形，为的中点，
所以，又，
所以平面；
由题意，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
令，可得平面的一个法向量，
易知平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．证明如下：
取的中点，连结、，
由题意，且，且，
故C且．
四边形为平行四边形．
，又平面，平面，平面．
因为平面，又，底面为菱形，
所以为正三角形，
取中点，连接，
则，也即，
所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，
取，得，
取平面的一个法向量为，
由题意得，
解得，故D，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
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