2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，则点关于轴的对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，那么( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为( )
A. B. C. D.
5.如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于( )
A. B. C. D.
6.已知、是两条不重合的直线，、、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
若，，则；
若，，则；
若，，，则；
若、是异面直线，，，，，则．
其中正确的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7.在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行六面体中，，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在长方体中，，，为棱的中点，为四边形内含边界的一个动点且，则动点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，下列结论中不正确的是( )
A. 三棱锥的体积的最大值为
B. 点到平面的距离为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 的最小值为
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知向量，，若，则 ______．
12.已知正方体的棱长为，则点到直线的距离为______．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为______．
14.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为______．
15.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是______．
直线平面
三棱锥的体积为定值
异面直线与所成角的取值范围是
直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，平面，求证：平面．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件：；
条件：平面平面；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点如图将沿折起到位置，使得如图．
求证：平面平面；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.证明：连接，
因为底面是平行四边形，且是的中点，
所以是的中点，
因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，，面，
所以面，
因为，
所以面．
17.证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为，为中点，
所以，
因为，A、平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：因为直三棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
如图所示，以为原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，，
因为面，
所以为平面的一个法向量，
，，，
所以，，
设与平面所成角为，
所以，，
即与平面所成角的正弦值为；
解：设到平面的距离为，
因为，，，
所以，
设为平面的一个法向量，
所以，即，
令，则，
所以，
因此点到平面的距离为．
18.解：Ⅰ证明：底面是正方形，，
平面，平面，
平面，
平面与交于点，
平面，平面平面，
．
Ⅱ选条件，
侧面为等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面，
平面平面，平面，
则平面，又为正方形，
，，，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，点为的中点，则，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
平面与平面所成锐二面角的大小为；
选条件，
侧面为等腰直角三角形，且，即，，
，，且两直线在平面内，可得平面，
平面，则，
，，且两直线在平面内，
则平面，平面，则，
，为等腰三角形，点为的中点，
，是等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面，
平面平面，平面，
则平面，又为正方形，
，，，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，点为的中点，则，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
平面与平面所成锐二面角的大小为；
选条件，
侧面为等腰直角三角形，且，
即，，平面平面，
平面平面，平面，
则平面，为正方形，
，，，
，，且两直线在平面内，
则平面，平面，则，
，是等腰三角形，为的中点，
，是等腰直角三角形，且，
即，，
平面平面
平面平面，平面，
则平面，又为正方形，
，，，
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，点为的中点，则，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
平面与平面所成锐二面角的大小为．
19.证明：因为在梯形中，，，，为的中点，
所以，，，
所以是正三角形，四边形为菱形，
所以，，
因为，，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：存在．
因为平面，，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则，令，则平面的法向量，
设，
因为，，
所以，
设与平面所成角为，则，
即，因为，解得，
所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为．
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