2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河南省南阳一中高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知圆经过，两点，且圆心在直线：，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上若，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
7.已知是椭圆上一点，则点到直线：的最小距离是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线的一个法向量为
C. 若直线，则
D. 点到直线的距离是
10.已知直线：，圆是以原点为圆心，半径为的圆，则下列结论正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上有且仅有两个点到直线的距离都等于
C. 若圆与曲线恰有三条公切线，则
D. 当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点
11.已知椭圆：的长轴端点分别为，、两个焦点分别为、，是上任意一点，则( )
A. 的离心率为 B. 的周长为
C. 面积的最大值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______．
13.已知圆关于直线为大于的数对称，则的最小值为______，此时直线方程为______．
14.椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于，两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
已知入射光线经过点，且被直线：反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程．
16.本小题分
已知直线：，：，点和点分别是直线、上一动点．
若直线经过原点，且，求直线的方程；
设线段的中点为，求点到原点的最短距离．
17.本小题分
已知圆过三点，，．
求圆的标准方程；
斜率为的直线与圆交于，两点，若为等腰直角三角形，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆：在椭圆里过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．
求的取值范围；
是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知两个定点动点满足直线和直线的斜率之积是
求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
记中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于，两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点．
参考答案
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15.解：直线的斜率为，直线的倾斜角为，
直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，
故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，
所求直线的方程为，即．
设关于直线：对称的点为，
则解得
，
反射光线经过点，
所在直线的斜率为，
故反射光线所在直线方程为，即．
16.解：由题得两直线的距离为，
所以和两直线垂直，
因为、的斜率为，
所以，
所以直线的方程为；
因为、互相平行，所以线段的中点的轨迹为，即，
所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，
因为点到直线的距离为，
所以点到原点的最短距离为．
17.解：设所求的圆的方程是，其中，
又圆过三点，，，
则，
解得，
所以圆的一般方程为，
故圆的标准方程为．
设直线的方程为：，
因为为等腰直角三角形，
又由知圆的圆心为，半径为．
所以圆心到直线的距离，
即，
即或，
所以直线的方程为：或．
18.解：设为椭圆上任意一点，则，，
则．
因为圆在椭圆内，则，
所以，即的取值范围为．
由题意可知，设、，因为，故切线，的斜率都存在．
则直线的方程为，即为，
同理直线的方程为．
因为与圆相切，则，故．
因为在椭圆上，则，所以，又因为．
故，即，
同理：．
故直线的方程为．
若直线与圆相切，则，令．
故，即．
故或或，
因为，所以不满足，
故存在满足条件的圆，其方程为．
19.解：已知两个定点动点满足直线和直线的斜率之积是，
设点的坐标为，
因为点的坐标是，
则，
化简可得点的轨迹方程为，
即点的轨迹是除去两点的椭圆．
证明：设，
当直线斜率不存在时，
可知，，
且有，
解得或，
当时，
则直线经过点，与题意不符，舍去，
故，，
此时直线为，
当直线斜率存在时，
设直线：，
则，
联立直线方程与椭圆方程，
消去可得，
根据韦达定理可得：，
所以，
即，
整理得：，
所以，
则或，
当时，
则直线恒过点，与题意不符，舍去，
故，
则直线恒过原点，
结合可知，直线恒过原点，
原命题得证．
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