2024-2025学年北京市海淀区八一学校高一上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区八一学校高一上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.数集，，则，之间的关系是( )
A. B. C. D.
3.命题“，使得”下列说法正确的是( )
A. “，”是假命题
B. “，”是假命题
C. “，”是真命题
D. “，”是真命题
4.已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.关于的方程的解集可能是( )
A. 空集 B. 单元素集合 C. D.
7.已知集合，，则满足的集合的个数为( )
A. B. C. D.
8.不等式的解集是( )
A. B. 或
C. D.
9.已知命题，，命题，恒成立若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
10.刘老师沿着某公园的环形道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知集合，集合，若，则 ．
12.关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为 ．
13.若集合中有个元素，则的取值范围是 ．
14.若关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是
15.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为万元．全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的两类店面间数的建造方案为 种．市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则的最大值为 万元．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，，求证：．
已知，，，求证：．
17.本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知关于的方程的两个实数根为
当时，求的值：
若，求实数的值．
19.本小题分
已知关于的不等式，其中．
若，求上述不等式的解集；
是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数？若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
设集合，若是的子集，把中所有数的和称为的“容量”规定空集的容量为，若的容量为奇偶数，则称为的奇偶子集．
当时，写出的所有奇子集；
求证：当时，的所有奇子集的个数等于偶子集的个数；
当时，求的所有奇子集的容量之和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一，满足即可
13.
14.
15.
16.由，可得，
从而有，又，可得．
由，，得
，
当且仅当，即时取等号．
所以．

17.由，得到或，即或，
又，得到或，
所以，或．
由，得到，得到，
又因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或．

18.由题设是，则，，
而．
由题意，，
，整理得，
所以或，而，
所以．

19.当时，则不等式为，解得，
所以不等式的解集为；
(ⅱ)当时，令，解得或，
当且时，原不等式化为，
因为，解得或，
所以不等式的解集为；
当时，原不等式化为，解得，
所以不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当且时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
存在，理由如下：
由知：当时，中整数的个数为无限个；
当时，原不等式化为，
因为，解得，
所以不等式的解集为；
则当时，中整数的个数为有限个，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以当时，中整数的个数最少；
综上所述：当时，中整数的个数为有限个，当时，中整数的个数最少．

20.当时，，则的所有奇子集为；
，一定存在奇数，
设奇数，对于的每个奇子集，
当时，取．
当时，取，则为的偶子集．
反之，亦然．
所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．
所以，的奇子集与偶子集个数相等．
由上可知，的奇子集有个，易得每个元素在奇子集中都出现次，
故奇子集的容量和为．

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