2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A. 若则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.下列说法正确的是( )
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同
3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
A. B. C. D. 与相交
4.如图，已知斜三棱柱，设分别为与的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知空间三点共线，则和的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.棱长为的正四面体中，点是的中点，则( )
A. B.
C. D.
8.已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9.在棱长为的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为
C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知点，则该点关于平面的对称点坐标为 ．
12.若，则 ，若与互相垂直，则实数 ．
13.如图，在长方体中，设，，则 ， ．
14.正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的余弦值为
15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面与平面 填“垂直”或“不垂直”；的面积的最大值为 ．
16.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
存在点，使；
存在点，使；
到直线和的距离相等的点有无数个；
若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．

设点为上任意一点，求证：；
求直线和平面所成角的正弦值
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点．
求证：平面；
求直线与直线所成角的余弦值；
若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．
19.本小题分
设为正整数，若满足：，；对于，均有则称具有性质对于和，定义集合．
设，若具有性质，请写出一个及相应的；
设，请写出一个具有性质的，满足；
设，是否存在具有性质的，使得？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由．
参考答案
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13.

14.
15.垂直

16.
17.因为平面平面所以，
又因为，平面，
所以平面，点为上任意一点，
则平面，所以．

因为平面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，
所以，
因为，
设平面的法向量为，则
取，可得，所以，
设直线和平面所成角的大小为，
所以，
直线和平面所成角的正弦值．
平面的法向量为，
设二面角的平面角大小为，
所以，
因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值．

18.连接，由三棱柱性质可得平面平面，
又平面，故平面；
因为平面，平面，
所以，而，
故两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系：

则，
连接，则，
由，故，
故直线与直线所成角的余弦值为；
设，，则，
设平面的法向量为，
有，令，则，，
即，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为．

19.令，即，，，则，则；
当，，中的或者，不妨设，接下来，，可能或，不妨取中的剩余数，，可以分别对应，，，如此不唯一．
不存在
证明：不妨设，，并将其看做数列．
假设成立，
集合中有个奇数，个偶数．
设数列中有个奇数与有序数组中个偶数对应作差的绝对值，中个偶数与中的个奇数对应作差的绝对值，共得到得到个奇数；
则中剩余个奇数，个奇数，中剩余个偶数，个奇数，
要对应作差的绝对值恰好为个偶数，则的剩余数中奇数与奇数相配对，偶数与偶数相配对，故即，但是，矛盾，
故满足条件的不存在．

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