2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学（成达部）高一上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区首都师范大学附属中学（成达部）高一上学期10月月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.下列函数既是奇函数又在区间上是增函数的是( )
A. B.
C. D.
4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点( )
A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
5.下列结论正确的个数是( )
若，则；若，则；
不全为零；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.函数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
7.若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式的解集是，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为( )
A. B. C. D. 无数
10.设，为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数某学校甲乙丙丁四名同学从思想政治历史地理物理化学生物这门高中学业水平等级性考试科目中自主选择门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理，给出下列四个结论：
若，则思想政治，历史，生物；
若，则地理，物理，化学；
若思想政治，物理，生物，则；
若，则思想政治，地理，化学．
其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.函数的值域为 ．
12.已知函数，若对于任意的正实数都满足，则 ．
13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， ．
14.已知关于的方程的两根为，满足，则实数的取值范围为 ．
15.若函数有个零点，实数的取值范围为 ．
16.设关于的方程和的实根分别为，若，则实数的取值范围是 ．
17.李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数单位：万件与广告费用单位：万元符合函数模型若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入 万元．
18.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为．
若，则 ；
若则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.解关于的方程：
20.已知函数．
证明：函数是奇函数；
用定义证明：函数在上是增函数；
若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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19.由不等式，可得，
若，即时，，解得，所以不等式的解集为；
若，即时，因为，
解得或，不等式的解集为；
若，即时，不等式即为，
当时，可得，解得，不等式的解集为；
当时，可得，此时不等式的解集为；
当时，可得，解得，不等式的解集为
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．

20.证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数．
证明：当时，，
任取，且，
可得
因为，且，可得，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，所以函数在上是增函数，
又由，可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围．

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