2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西壮族自治区南宁三校高一10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题“，”，则为( )
A. ，
B. ，
C. 不存在，
D. ，
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知命题，，命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
6.已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. 或 D.
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设、为两个实数集，定义集合，若，，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，若，则实数可以是( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 命题“，”的否定为“，”
11.已知正数，满足，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ．
13.“”是“一元二次方程有实数解”的 条件填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”
14.已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合或，或．
求
求．
16.本小题分
设，已知集合，．
当时，求实数的范围
设，若是的必要不充分条件，求实数的范围．
17.本小题分
已知，都是正实数，
试比较与的大小，并证明
当时，求证：
18.本小题分
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单价为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
其中，
试问哪种购买方案花费更少请说明理由
若，，，同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值最小值注：差值花费较大值花费较小值．
19.本小题分
若方程有两个不相等的实数根，，且．
求证：
若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.充分不必要
14.
15.解：由题可知，或，或．
或；
因为或，或，
所以或，
则
16.解：由题可得，则；
由题可得是的真子集，
当，则
当，，则等号不同时成立，解得，
综上，
17.解：结论：，当且仅当时，等号成立．
证明：
，
因为，都是正数，所以，
当且仅当时，等号成立，
即，当且仅当时，等号成立
因为，，都是正数，且，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
18.解：方案一的总费用为元；
方案二的总费用为元，
由，
因为，，可得，，
所以，
即，所以，
所以采用方案二，花费更少；
由可知，
令，则，
所以，
当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以差值的最小值为，当且仅当，，，时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为元．
19.证明：根据韦达定理得，，，
所以，
所以．
解：
，
因为，
所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为．
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