江西省“金太阳”2024-2025学年高二10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江西省“金太阳”高二10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列直线中，倾斜角最小的是( )
A. B. C. D.
2.已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.若点在圆的外部，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
5.已知，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.点关于直线对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知是圆上一动点，若直线上存在两点，，使得能成立，则线段的长度的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，且四边形是平行四边形，则( )
A. 直线的方程为 B. 是直线的一个方向向量
C. D. 四边形的面积为
10.若直线与曲线恰有一个交点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.已知，，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 过点且被圆截得最短弦长的直线方程为
B. 直线与圆总有两个交点
C. 过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点，和，，则四边形的面积的最小值为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与的长轴垂直的直线交于，两点若为直角三角形，则的长轴长为 ．
13.已知，直线，过点作的垂线，垂足为，则点到轴的距离的最小值为 ．
14.在某城市中，地位于地的正南方向，相距地位于地的正东方向，相距现有一条沿湖小径曲线，其上任意一点到和的距离之和为现计划在该小径上选择一个合适的点建造一个观景台，经测算从到，两地修建观景步道的费用都是万元，则修建两条观景步道的总费用最低是 万元．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
若在两坐标轴上的截距相反，求的值
若直线，且，求与间的距离．
16.本小题分
已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点．
若，点的坐标为，求椭圆的标准方程
若，的面积为，求的值．
17.本小题分
已知圆与轴相切，其圆心在轴的负半轴上，且圆被直线截得的弦长为．
求圆的标准方程
若过点的直线与圆相切，求直线的方程．
18.本小题分
已知，分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上一动点．
若直线，的斜率之积为，且椭圆的短轴长为，求椭圆的方程
若是圆上一动点，且，求椭圆的离心率的取值范围，
19.本小题分
定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为，的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”已知圆，为圆的“黄金点”．
求点所在曲线的方程．
已知圆，，均为圆“”的“钻石点”．
(ⅰ)求直线的方程．
(ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于，两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：
由题意知，截距存在，
令，则，令，则，
所以，解得；
因为，所以，解得，
则的方程为，即，
则与间的距离．
16.解：已知，因为，所以，
点在椭圆上，将其代入椭圆方程，
可得，即，解得．
又因为，，，
所以．
所以椭圆的标准方程为．
因为，所以的面积，
则．
根据椭圆定义，．
由勾股定理可得．
又，
即．
在椭圆中有，将变形为，即，解得．
17.解：因为圆心在轴的负半轴上，所以设圆，
又圆与轴相切，所以，即．
圆心到直线的距离为，
所以，解得，则．
故圆的标准方程为．
由知，圆心为，，
因为，所以点在圆外，过圆外一点作圆的切线，其切线有条．
当的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到的距离，解得，
此时的方程为．
当的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切．
综上，的方程为或．
18.解：设，
根据题意，，，，
， ，化简可得，
椭圆的方程为；
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如图，当，，三点共线，且在线段上时，最大，此时，
设，则，，
，，
当，即时，，即，符合题意，由，可得，即
当，即时，则，即，化简得，所以，这与矛盾，不符合题意．
综上，的离心率的取值范围为
19.解：因为为圆的“黄金点”，所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故点所在曲线的方程为．
因为为圆的“黄金点”，所以，即点在圆上，
则是圆和的交点
因为，均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为．
设的圆心为，半径为
的圆心为，半径为直线的方程为，得，的中点坐标为，
点到直线的距离为，则，
所以圆的方程为．
假设轴上存在点满足题意，设，，
若轴平分，则，即，整理得．
又，，所以代入上式可得，
整理得，
由得，所以，，
代入并整理，得，此式对任意的都成立，
所以故轴上存在点，使得轴平分．

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