2024-2025学年贵州省遵义市多校高二上学期10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年贵州省遵义市多校高二上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图像向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
5.若对任意的，，函数满足，则( )
A. B. C. D.
6.一个圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七块板组成的，即五块等腰直角三角形板两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角形板，一块正方形板和一块平行四边形板现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概率为( )
A. B.
C. D.
8.如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为深入贯彻落实全国旅游发展大会精神，文化和旅游部启动“致敬新时代”红色故事宣讲活动某中学积极响应，举行了一场“红色故事”讲解大赛，全校共名学生参赛，比赛结束后，将这名学生的大赛成绩单位：分进行整理，按，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有( )
A.
B. 估计样本的分位数为分
C. 若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分
D. 若按照分层随机抽样的方法从大赛成绩在与内的学生中共抽取人，则内被抽取到的学生人数为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
11.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则的实部与虚部之积为 ．
13.已知单位向量，满足，且，则正数的值为 ．
14.已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为 ，球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且．
证明：平面．
证明：平面平面．
16.本小题分
，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是．
求，两人各自闯关成功的概率；
求，，三人中恰有两人闯关成功的概率．
17.本小题分
已知函数的图像经过点．
求的值；
试判断的奇偶性，并说明理由；
若，，求的取值范围．
18.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且
证明：．
若点在边上，且，求的取值范围．
19.本小题分
若，是函数在内的两个零点，则定义的型零点旋转函数为，且将函数在内所有的零点从小到大排列后，记第个零点为，集合．
请用列举法写出．
设函数是的型零点旋转函数，函数，，．
讨论的零点个数；
若有两个零点，，证明：．
参考答案
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15.
连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点，
又为的中点，则有，
平面，平面，所以平面．
，分别为，的中点，则有，
平面，平面，则有平面，
，分别为，的中点，有，
又，则有，
平面，平面，则有平面，
平面，，
所以平面平面．

16.
记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是．
设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为．

17.
函数的图像经过点，有，
即，解得．
为奇函数，理由如下：
由得，函数定义域为，
，所以为奇函数．
函数和在上都为增函数，所以在上单调递增，
由，则有，
所以，恒成立，则有，
所以的取值范围为．

18.证明：因为，所以，
整理得，
又，所以，从而，
整理得，则，
由，
得
即，因为，，
则，即
解：如图，
由，可得，则 ．
在中，由正弦定理得，
整理得C.
因为，且是锐角三角形，所以，解得，
则，
从而，
即的取值范围为
19.
，
令，得或，又，
所以当时，；
当时，，
所以；
由知，则，
得，令，
由，得，即，
对于方程，，
当即时，无零点；
当即时，有个零点；
当即时，方程的解为，
若且，即，有个零点；
若，有个零点；
若，即，无零点；
综上，当或时，无零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点．
若有个零点，则是方程的两个根，
由韦达定理得，
又，所以，
而，故，
因为在上单调递减，所以，
故，即证．

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