2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.如图，三棱锥中，，，，点为中点，点满足，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数等于( )
A. B. C. D.
5.设点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知空间向量，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.下面三条直线：，：，：不能构成三角形，则的集合是( )
A. B. C. D.
8.在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量与向量分别构成空间向量的一组基底，则
B. 若非零向量满足，，则有
C. 若是空间向量的一组基底，且，则四点共面
D. 若向量，，是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底
10.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线过定点
B. 原点到直线距离的最大值为
C. 若点，到直线的距离相等，则
D. 若直线经过一、二、三象限，则
11.如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则( )
A. 无论取何值，三棱锥的体积始终为
B. 若，则
C. 点到平面距离为
D. 若异面直线与所成的角的余弦值为则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为
13.直线的倾斜角的范围是 ．
14.设，求的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的面积；
若，求点的坐标．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，分别是的中点．
求证：平面；
设，求二面角的余弦值．
17.本小题分
三棱台中，，，，平面平面，，，，，与交于．
Ⅰ证明：平面
Ⅱ求异面直线与的距离．
18.本小题分
已知直线，，，记，，．
当时，求原点关于直线的对称点坐标；
求证：不论为何值，总有一个顶点为定点；
求面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性
19.本小题分
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：由题得直线的斜率：，
所以直线的方程为：，
即，
点到直线的距离为，
，
所以．
因为，所以直线的斜率：，
所以直线的方程为：，
直线的斜率，
因为，
所以，
直线，
联立方程组
解得：．
16.解：证明：取的中点，连接
分别是的中点
，
在正方形中，是的中点
，
四边形是平行四边形
又平面，平面
平面
以为原点，延长线，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
设是平面的法向量，则
，令，得
设是平面的法向量，则
，令，得
由图形可知二面角为钝二面角
二面角的余弦值为

17.解：Ⅰ三棱台中，，所以D.
又，所以在内，有．
因为平面，平面，
所以平面．
Ⅱ已知平面平面，平面平面，，平面，
所以平面B.
因为平面，所以B.
又，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以，
故AB，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系．
则，，，，，
，，，
由可知
设向量，且满足：，，
则有，令，，
在上的投影向量的长度为，
故异面直线与的距离为．
18.解：当时，直线 的方程为：，且斜率，
设原点关于直线 的对称点为 ，则由斜率与中点坐标公式列方程得：
解得：，故所求点的坐标为．
直线，恒过点．
，恒过点．
故总有一个顶点为定点．
由条件可得与垂直，所以角为直角，
所以，
等于点到的距离，
由的方程联立可得，所以，
等于点到直线距离，
故，
所以三角形面积，
当时，有 有最大值；
当时，有最小值，
所以时取最大值，时取最小值，
故面积的取值范围．
19.解：证明：
因为在中，，，且，
所以，，
则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，且都在面内，
所以平面；
由知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，
，，，
故，，，
，，，
，，
，
设平面的法向量为，
则，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则有
，
所以，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，
使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，
，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，
所以平面的一个法向量为
，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足
，
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，
此时的长度为或．

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