2024-2025学年福建省厦门第一中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年福建省厦门第一中学高二上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知圆，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线过点，其方向向量为，直线过点，其方向向量为，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.圆：关于直线对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线，的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. ， B. ， C. D.
10.若有一组圆：，下列命题正确的是( )
A. 所有圆的半径均为 B. 所有的圆的圆心恒在直线上
C. 当时，点在圆上 D. 经过点的圆有且只有一个
11.在四面体中，棱的长为，，，，若该四面体的体积为，则( )
A. 异面直线与所成角大小为
B. 的长可以为
C. 点到平面的距离为
D. 当二面角是钝角时，其正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角的余弦值为 ．
13.已知两条平行直线间的距离为，则 ．
14.小明在街道散步时听见呼救声，发现道旁的湖中有落水者，准备立即施救．如图所示，小明位于人行道上的点，落水者位于；已知小明小跑的速度为，游泳速度为，则他到达落水者位
置所用的最短时间为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．
试用向量，，表示向量
若，，求的值．
16.本小题分
已知点，动点满足．
求动点的轨迹方程：
若动点满足，求动点的轨迹方程；
17.本小题分
已知的一条内角平分线的方程为，一个顶点为，边上的中线所在直线的方程为．
求顶点的坐标；
求的面积．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为．
证明：直线平面；
设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，．
19.本小题分
阅读材料：
折纸几何学是指从数学的角度对折叠过程加以研究，如欧几里德为平面几何设计了公理一样，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎设计了一套完整的公理体系来描述折纸操作公理，假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，这些公理描述了通过折叠纸张可能达成的所有操作，其中的第六条公理叙述如下：
给定两个点，，和两条相交直线，，存在一个折叠，可以使落在上，同时落在上．如图
不同于尺规作图，折纸操作在折叠过程借用了三维空间，翻转了“平面”，借助这些公理，可解决一些尺规作图无法解决的作图问题．
(ⅰ)倍立方体问题：作出体积是给定正方体两倍的正方体棱长
如图，首先将正方形三等分，
将折到线段上，同时将折到线段上，
则点将分成两段，其长度之比恰为所求．
(ⅱ)三等分锐角问题：如图
在矩形纸上折出锐角
在上标注点，对折，折痕记为；
折叠纸张，使得点落到上，点落到上，
把、、落地点分别记为、、，折痕记为；、就是的三等分线
结合阅读材料解决以下问题：
在平面直角坐标系中，已知，，若能通过折叠使，分别落在轴，轴上，求折痕所在直线的方程；
求证：在倍立方体问题中，；
如图，直线的倾斜角为，若直线过原点，且倾斜角为，请结合三等分锐角的案例，设计折出直线的步骤，并加以证明．
参考答案
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14.
15. 解：因为，
所以，
所以，
因为点为的中点，
所以
因为 ， ，
所以
．

16.
依题意，设点，又，
因为，即，
化简可得，即，
所以动点的轨迹方程为；
设，又，
因为，所以，
即，得
由知，所以，
整理得动点的轨迹方程为．

17.
因为直线的方程为，
设，又，
所以线段的中点坐标为，
因为线段的中点在直线上，
所以，整理得，即，
所以．
因为是的一条角平分线，
所以点关于直线的对称点在直线上，
设，
则，解得
所以，
所以直线的方程为，整理得，
联立直线与直线的方程，
解得，即，
所以，
点到直线的距离，
所以．

18.证明：因为，分别是，的中点，则，
平面，平面，
从而平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面平面，平面平面，，平面，
则平面，
所以直线平面；
解：解法一：因为平面，平面，
则，
又，则，
因为为正三角形，为的中点，
则，，、平面，
从而平面，
连接，则，
因为，，则，
在中，，
在中，，
因为，则，得，
所以当时，．
解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则点，，
从而，，
设平面的法向量，
则
取，得．
设点，则，
所以，
．
因为，则，得，
所以当时，．
19.
设折叠后点落在轴上的点为，点落在轴上的点为，
因为折叠前后线段长度不变，或．
当时，得的中点为，的中点为，
所以直线为，即；
当时，得的中点为，的中点为，
所以直线为，即，
故直线的方程为或；
设原立方体的棱长为，倍立方体的棱长为，
则原立方体的体积为，倍立方体的体积为，
又倍立方体的体积是原立方体的体积的倍，
所以，解得，
在图中，，
所以，即证．
由题意知，直线的斜率为，则，故为钝角．
如图，
设计折出直线的步骤：
将对折，折痕记为，
将放在矩形中，且在上标注点，对折，折痕记为，
折叠纸张，使得点落在上，点落在上，
把的落地点分别记为，折痕记为；
就是的三等分线，则，所在直线即为直线．
证明：
因为折叠操作使得，则，
所以直线即为倾斜角是的直线，即直线．

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